章テスト
章テスト：複素解析
この テストで たしかめる こと
- 正則性・積分定理・留数をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら解析ルートは完走！ 残るは位相（S4）と確率・統計（P3・P4）、そして修了テストM5だ。
A10「複素解析」の章テストだよ。解析ルート最後の章テストだ。
テスト
Q1
きほん
f(z) ＝ z² の f′(4) ＝ ？
かいせつ微分公式は実のときと同じ形で (z²)′ ＝ 2z。z ＝ 4 を代入して f′(4) ＝ 2 × 4 ＝ 8。
Q2
きほん
正則でないのは？
かいせつz̄ ＝ x − iy は u ＝ x、v ＝ −y で、∂u/∂x ＝ 1 と ∂v/∂y ＝ −1 が一致せずCR方程式が破れるので正則でない。z² と e^z は全平面で正則だ。
Q3
きほん
∮z⁵ dz（閉曲線）＝ ？
かいせつz⁵ は多項式で全平面で正則。コーシーの積分定理より、閉曲線とその内部で正則な関数の一周積分は 0。
Q4
ふつう
∮dz/z（原点を囲む）＝ □πi。□は？
かいせつ1/z は原点に特異点をもつので積分定理は使えない。単位円 z ＝ e^(it)（0 ≦ t ≦ 2π）で計算すると dz ＝ ie^(it)dt だから、∮dz/z ＝ ∫i dt ＝ 2πi。□ ＝ 2。
Q5
ふつう
f(z) ＝ 6/(z − 2) の z ＝ 2 での留数は？
かいせつ6/(z − 2) はそれ自身が z ＝ 2 まわりのローラン展開で、1/(z − 2) の係数は 6。よって Res(f, 2) ＝ 6。
Q6
ふつう
コーシー・リーマン方程式の1本目は？
かいせつCR方程式は ∂u/∂x ＝ ∂v/∂y と ∂u/∂y ＝ −∂v/∂x の2本組。マイナスがつくのは2本目のほうで、1本目にはつかない。
Q7
チャレンジ
留数の合計が 3 の一周積分は □πi。□は？
かいせつ留数定理 ∮f dz ＝ 2πi × （囲んだ留数の合計）より、2πi × 3 ＝ 6πi。□ ＝ 6。
Q8
チャレンジ
∫dx/(1 ＋ x²)（全実数）＝ ？（記号1文字）
かいせつ実軸＋上半平面の大きな半円の閉路で囲むと、上半平面の特異点 z ＝ i の留数 1/2i だけを拾う。留数定理より 2πi × 1/2i ＝ π で、i が打ち消して実数になる。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！