章テスト
章テスト：常微分方程式
この テストで たしかめる こと
- 変数分離・特性方程式・振動をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら、「変化の法則から未来を解く」技は一人前。ベクトル解析（A9）へ進もう！
A8「常微分方程式」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
y′ ＝ 4y の一般解は y ＝ Ce^(□t)。□は？
かいせつ変数分離で dy/y ＝ 4 dt。両辺を積分して log|y| ＝ 4t ＋ C₁、指数をとって y ＝ Ce^(4t)——□は 4。検算：微分すると 4Ce^(4t) ＝ 4y ✓
Q2
きほん
y′ ＝ 3y、y(0) ＝ 2 のとき C ＝ ？
かいせつ一般解は y ＝ Ce^(3t)。初期条件 y(0) ＝ 2 を代入すると Ce^0 ＝ C ＝ 2。「一般解→初期条件でC決定」の2段構えだ。
Q3
きほん
「冷める速さは温度差に比例」の式は？
かいせつ冷める速さは T′、まわりとの温度差は T − 環境温度。冷めて温度が下がる現象だからマイナスをつけて T′ ＝ −k(T − 環境温度)——ニュートンの冷却法則だ。T′ ＝ kT は温度差でなく温度そのものに比例する別のモデル。
Q4
ふつう
y″ − 5y′ ＋ 4y ＝ 0 の特性方程式の解のうち大きいほうは？
かいせつy ＝ e^(λt) を代入すると特性方程式 λ² − 5λ ＋ 4 ＝ 0。因数分解して (λ − 1)(λ − 4) ＝ 0 だから λ ＝ 1、4——大きいほうは 4。
Q5
ふつう
y″ ＝ −25y の解の角振動数 ω ＝ ？
かいせつy″ ＝ −ω²y の形とくらべると ω² ＝ 25、つまり ω ＝ 5。解は y ＝ C₁cos 5t ＋ C₂sin 5t の単振動で、周期は 2π/5 になる。
Q6
ふつう
P′ ＝ P(1 − P/80) の正の平衡点は？
かいせつP′ ＝ 0 とおくと P(1 − P/80) ＝ 0。P ＝ 0 または 1 − P/80 ＝ 0、つまり P ＝ 80。正の平衡点は環境収容力の 80 だ。
Q7
チャレンジ
特性方程式の虚数解が意味するのは？
かいせつ虚数解 λ ＝ ±iω の e^(±iωt) をオイラーの公式で翻訳すると cos ωt と sin ωt——解は振動する。実数解がないのは特性方程式の話で、微分方程式の解が存在しないわけではない。
Q8
チャレンジ
2階線形方程式の初期条件は位置と何？
かいせつ2階の一般解には任意定数が2個あるから、初期条件も2個必要——位置 y(0) と速度 y′(0)。投げたボールの未来は、位置と速度がそろって初めて決まる。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！