章テスト
章テスト：写像と濃度
この テストで たしかめる こと
- 写像・関係・濃度をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら、現代数学の共通語——集合と写像の言葉はマスター。解析の厳密化（A6）へ進む準備は万全だ！
S3「写像と濃度」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
実数から実数への f(x) ＝ 5x − 2 は？
かいせつ5x − 2 ＝ 5x′ − 2 なら x ＝ x′——かぶらないから単射。どんな y にも x ＝ (y ＋ 2)/5 から届くから全射。両方みたすので全単射。
Q2
きほん
f(x) ＝ x ＋ 3、g(x) ＝ 2x のとき (g∘f)(2) ＝ ？
かいせつg∘f は「fしてからg」——先に内側の f が働く。f(2) ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5、つづけて g(5) ＝ 2 × 5 ＝ 10。
Q3
きほん
f(x) ＝ 2x ＋ 1 の f⁻¹(9) ＝ ？
かいせつf⁻¹(9) は f(a) ＝ 9 となる a のこと。2a ＋ 1 ＝ 9 を解くと a ＝ 4。検算：f(4) ＝ 2 × 4 ＋ 1 ＝ 9 で確かに戻る。
Q4
ふつう
同値関係の3条件は？
かいせつ反射律（a 〜 a）・対称律（a 〜 b なら b 〜 a）・推移律（a 〜 b かつ b 〜 c なら a 〜 c）の3つ。この3条件が、集合をもれなく重複なく類別できるための骨格になる。
Q5
ふつう
38 ≡ □ (mod 7)。□は？
かいせつ38 ＝ 7 × 5 ＋ 3 だから、38を7でわった余りは3。よって 38 ≡ 3 (mod 7)。
Q6
ふつう
mod 4 の同値類はいくつ？
個
かいせつmod 4 は「4でわった余りが同じ」で仕分けるから、余り0〜余り3の4つの同値類に分かれる。
Q7
ふつう
整数の集合の濃度は？
かいせつ0, 1, −1, 2, −2, … と交互に並べれば整数はもれなく一列になる——自然数と全単射がつくから可算。
Q8
チャレンジ
実数が非可算であることを示した論法は？
かいせつカントールの対角線論法。実数を一列に並べたと仮定し、対角線の桁をぜんぶ変えた新しい数を作ると、どの行とも必ずちがう——矛盾が生じるので実数は非可算。
Q9
チャレンジ
逆写像を持つのは？
かいせつ逆向きにたどるには、かぶらない（単射）と届き切る（全射）の両方が要る。単射でも全射でなければ「戻り先がない要素」が終域に残り、写像として定義できない——逆写像を持つのは全単射だけ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！