章テスト
章テスト：多変数の微積分
この テストで たしかめる こと
- 偏微分と重積分をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら、多変数の世界の基礎は完成。微分方程式（A8）やベクトル解析（A9）へ道が続く！
A7「多変数の微積分」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
f ＝ x²y³ の ∂f/∂x ＝ □xy³。□は？
かいせつy³ を定数の係数と思って x² を微分すると 2x。よって ∂f/∂x ＝ 2xy³——□は 2。止めている y³ のほうまで微分しないことに注意。
Q2
きほん
f ＝ 3x² ＋ 2xy の ∂f/∂y を (2, 1) で評価すると？
かいせつx を定数として y で微分すると ∂f/∂y ＝ 2x（3x² は y を含まないので消える）。(2, 1) を代入して 2 × 2 ＝ 4。
Q3
きほん
f ＝ x² ＋ y² の ∇f の (1, 1) での x成分は？
かいせつ∇f ＝ (∂f/∂x, ∂f/∂y) ＝ (2x, 2y)。(1, 1) を代入すると (2, 2) だから、x成分は 2。
Q4
ふつう
f ＝ x² ＋ y² − 4x − 2y の停留点のx座標は？
かいせつ停留点は ∂f/∂x ＝ ∂f/∂y ＝ 0 の点。∂f/∂x ＝ 2x − 4 ＝ 0 より x ＝ 2（∂f/∂y ＝ 2y − 2 ＝ 0 より y ＝ 1）。
Q5
ふつう
D ＝ fxx fyy − fxy² ＜ 0 の停留点は？
かいせつD ＜ 0 は固有値の符号が割れている印——方向によって山にも谷にもなる鞍点。極大・極小は D ＞ 0 のときに fxx の符号で分かれる。
Q6
ふつう
長方形 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ 3 上の ∬xy dxdy ＝ ？
かいせつ内側で y を定数にして ∫₀² xy dx ＝ 2y、外側で ∫₀³ 2y dy ＝ 9。積の形なら (∫₀² x dx)(∫₀³ y dy) ＝ 2 × 4.5 ＝ 9 とバラしても同じ。
Q7
ふつう
dxdy を極座標に変えると？
かいせつ極座標のヤコビアン（面積倍率）は r。だから dxdy ＝ r drdθ——r の掛け忘れに注意。
Q8
チャレンジ
半径2の円板上の ∬(x² ＋ y²)dxdy ＝ □π。□は？
かいせつ極座標で x² ＋ y² ＝ r²、dxdy ＝ r drdθ。積分は 2π × [r⁴/4]₀² ＝ 2π × 4 ＝ 8π——□は 8。
Q9
チャレンジ
ガウス積分 ∫e^(−x²)dx ＝ √π。この計算に使った座標は？
かいせつ2乗して ∬e^(−(x² ＋ y²))dxdy にすると円対称——極座標に変えると r dr が e^(−r²) の置換にはまり、I² ＝ π と求まる。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！