章テスト
章テスト：確率論
この テストで たしかめる こと
- 確率変数・分布・極限定理をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら確率論は手の中。最後の章、統計学（P4）へ！
P3「確率論」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
さいころの目の期待値は？（3.5 のように）
かいせつE[X] ＝ Σ（値 × 確率）＝ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6) × 1/6 ＝ 21/6 ＝ 3.5。期待値はたくさん振ったときの長期平均だ。
Q2
きほん
E[X] ＝ 5 のとき E[2X ＋ 3] ＝ ？
かいせつ線形性 E[aX ＋ b] ＝ aE[X] ＋ b をつかって、E[2X ＋ 3] ＝ 2 × 5 ＋ 3 ＝ 13。
Q3
きほん
V[X] ＝ 4 のとき V[3X] ＝ ？
かいせつ分散の変換則 V[aX] ＝ a²V[X] より、V[3X] ＝ 3² × 4 ＝ 9 × 4 ＝ 36。3倍（12）ではない——a倍はばらつきを a²倍にする。
Q4
ふつう
正規分布で μ ± 2σ に入る確率は約何%？
%
かいせつ68-95-99.7ルール：正規分布では μ ± σ に約68%、μ ± 2σ に約95%、μ ± 3σ に約99.7%が入る。
Q5
ふつう
コイン100回の表の回数の標準偏差は？
かいせつ二項分布の標準偏差は √(np(1 − p)) ＝ √(100 × 1/2 × 1/2) ＝ √25 ＝ 5。
Q6
ふつう
平均が期待値に収束する定理は？
かいせつ大数の法則——独立に同じ試行をくり返すと、その平均は期待値に収束する。中心極限定理は、条件を満たす確率変数の標準化した和の分布が標準正規分布に近づくことを述べる定理で、主張がちがう。
Q7
チャレンジ
多くの独立な小さな要因の和が正規分布で近似されることを説明する定理は？
かいせつ中心極限定理。たとえば有限な分散を持つ独立同分布な確率変数の標準化した和は、項数を増やすと標準正規分布に近づく。このため、条件をおおむね満たす多数の小さな要因の和が正規分布で近似されることを説明できる。大数の法則は標本平均の収束先を述べる定理であり、分布の形を直接与えるものではない。
Q8
チャレンジ
V[X] ＝ 16、n ＝ 4 の平均の標準偏差は？
かいせつ平均の分散は V[X̄] ＝ V[X]/n ＝ 16/4 ＝ 4。標準偏差はその平方根で √4 ＝ 2。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！