章テスト
章テスト：一変数の解析学
この テストで たしかめる こと
- ε論法・実数の連続性・微分積分の理論をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら、解析学の一階は竣工。固有値（L2）を経てマイルストーンM4、その先の多変数（A7）へ！
A6「一変数の解析学」の章テストだよ。厳密化の総仕上げだ。
テスト
Q1
きほん
aₙ ＝ 1/n で |aₙ| ＜ 0.02 となる最小の N は？
かいせつ1/n ＜ 0.02 ⇔ n ＞ 1/0.02 ＝ 50。N ＝ 50 なら n ＞ 50 のすべてで成り立ち、n ＝ 50 では 1/50 ＝ 0.02 でちょうど等しく満たさないから、最小の N は 50。
Q2
きほん
ε-N論法の量化子の順序は？
かいせつεが先、Nが後——どんな挑戦εにも、それを見てから番号Nで応じる。∃N を先に置くと「万能のNがある」という別の（まず成り立たない）主張になってしまう。
Q3
きほん
単調有界列は？
かいせつ単調有界列の収束定理——単調で有界な数列は必ず収束する。実数の連続性（上限の存在）の帰結で、行き先の値を知らなくても収束だけは保証される。振動するのは (−1)ⁿ のような単調でない列。
Q4
ふつう
lim (x→3) (2x ＋ 1) ＝ 7 の証明で δ ＝ ε/□。□は？
かいせつ|(2x ＋ 1) − 7| ＝ |2x − 6| ＝ 2|x − 3|。傾き 2 が入力誤差を 2 倍にするので、δ ＝ ε/2 と選べば 2|x − 3| ＜ 2×(ε/2) ＝ ε に抑えられる。
Q5
ふつう
f(x) ＝ x² の [0, 6] で平均の傾きと一致する f′(c) の c は？
かいせつ平均の傾きは (36 − 0)/(6 − 0) ＝ 6。f′(x) ＝ 2x だから 2c ＝ 6 より c ＝ 3——区間 (0, 6) の内部にあり、平均値の定理の主張どおり。
Q6
ふつう
sin x のテイラー展開：x − x³/□ ＋ …。□は？
かいせつx³ の係数は f‴(0)/3!。sin の3回微分は −cos で x ＝ 0 の値は −1 だから、−x³/3! ＝ −x³/6——つまり x³/6 を引く。
Q7
ふつう
初項1、公比 1/2 の無限等比級数の和は？
かいせつ|1/2| ＜ 1 なので a/(1 − r) ＝ 1/(1 − 1/2) ＝ 1/(1/2) ＝ 2。
Q8
ふつう
調和級数は？
かいせつ1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ … は、1/3 ＋ 1/4 ＞ 1/2 のようにグループごとに 1/2 を超え続けるから発散する。項が 0 に近づくのは収束の必要条件にすぎない、という急所を突く例。
Q9
チャレンジ
lim (1/n)Σ(i/n)² ＝ 1/□。□は？
かいせつ1/n が幅、(i/n)² が高さ——f(x) ＝ x² の [0, 1] でのリーマン和。区分求積法により極限は ∫₀¹ x² dx ＝ [x³/3]₀¹ ＝ 1/3。
Q10
チャレンジ
S(x) ＝ ∫ₐˣ f(t)dt について S′(x) ＝ ？（fは連続）
かいせつ微積分学の基本定理（微分形）：面積関数の微分はその場の高さ f(x)。原始関数 F(x) は S 自身にあたるもので微分した結果ではなく、f′(x) はさらにもう1回微分した高さの変化率。
Q11
チャレンジ
(1 ＋ 1/n)ⁿ の極限の値はおよそ 2.□2。□は？
かいせつ(1 ＋ 1/n)ⁿ は単調増加で上に有界だから収束し、極限は e ＝ 2.718…——およそ 2.72 なので □ ＝ 7。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！