章テスト
章テスト：集合と証明
この テストで たしかめる こと
- 集合の演算と証明の技法をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら、数学の読み書きの基礎装備は完成。図形の論証（G3）でさっそく実戦だ！
S2「集合と証明」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
A ＝ {x｜xは16の約数} のとき、8 ∈ A は成り立つかな？
かいせつ16の約数を列挙すると A ＝ {1, 2, 4, 8, 16}。8はこの中にあるから、8 ∈ A は成り立つよ。
Q2
きほん
A ＝ {2, 4, 6, 8}、B ＝ {4, 8, 12} のとき、A∩B の要素の個数は？
個
かいせつ両方に属する要素をさがすと A∩B ＝ {4, 8}。よって2個だよ。
Q3
きほん
同じAとBで、A∪B の要素の個数は？
個
かいせつA∪B ＝ {2, 4, 6, 8, 12}。重なりの4と8は1回だけ数えて5個だね。4 ＋ 3 − 2 ＝ 5 と計算してもいいよ。
Q4
ふつう
「(A∪B)の補集合」と等しいのはどれかな？
かいせつド・モルガンの法則で、補集合をとると∪と∩が入れかわる。「AまたはB」でない ＝ 「Aでない」かつ「Bでない」だから Ā∩B̄ だよ。Ā∪B̄ は (A∩B)の補集合のほうだね。
Q5
ふつう
{5, 10} の部分集合は全部で何個？（∅と自分自身をふくむ）
個
かいせつ列挙すると ∅、{5}、{10}、{5, 10} の4個。各要素の「入れる／入れない」の2択で 2 × 2 ＝ 4 と数えてもいいね。
Q6
ふつう
「偶数と奇数の和は奇数」の証明で、偶数と奇数の正しい表しかたは？（m、nは整数）
かいせつ偶数は 2m、奇数は 2n ＋ 1。別々に動けるものには別々の文字を使うのが鉄則だよ。2m と 2m ＋ 1 だと「となり合う偶数と奇数」の組しか表せなくなってしまうんだ。
Q7
ふつう
背理法の説明として正しいものは？
かいせつ背理法は「成り立たないと仮定すると矛盾が起きる。だから成り立つ」という証明法。対偶の証明は別の技法だし、例をいくら挙げても「いつでも成り立つ」の証明にはならないよ。
Q8
チャレンジ
40人のクラスで、電車通学25人、バス通学18人、両方10人。電車もバスも使わない人は何人？
人
かいせつ電車かバスを使う人は、両方の10人を2回数えないように n(A∪B) ＝ 25 ＋ 18 − 10 ＝ 33人。どちらも使わないのはその補集合で、40 − 33 ＝ 7人だね。
Q9
チャレンジ
√2の無理数性の証明で「これ以上約分できない分数」と仮定する理由は？
かいせつ証明を進めるとpもqも偶数になり、p/qが2で約分できてしまう。「これ以上約分できない」と仮定しておいたからこそ、これがはっきりした矛盾になるんだ。
Q10
チャレンジ
「n²が3の倍数でないならば、nは3の倍数でない」を証明するのにいちばん向いている方法は？
かいせつ対偶「nが3の倍数ならば、n²は3の倍数」なら、n ＝ 3m とおいて n² ＝ 9m² ＝ 3(3m²) と一瞬で示せる。例を3つ挙げても、すべての場合の証明にはならないよ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！