章テスト
章テスト：位相の基礎
この テストで たしかめる こと
- 距離空間と位相空間をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら論理と集合ルートは完走！ 残るは確率論（P3）と統計（P4）、そして修了テストM5だ。
S4「位相の基礎」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
(0, 0) と (5, 12) のユークリッド距離は？
かいせつユークリッド距離は √((Δx)² ＋ (Δy)²)。√(5² ＋ 12²) ＝ √(25 ＋ 144) ＝ √169 ＝ 13。
Q2
きほん
(0, 0) と (5, 12) のマンハッタン距離は？
かいせつマンハッタン距離は |Δx| ＋ |Δy| ＝ 5 ＋ 12 ＝ 17。碁盤の目の世界では、直線距離の13より長くなる。
Q3
きほん
距離の公理でないものは？
かいせつ距離の公理は 正値・対称・三角不等式の3つ。d(x, y) ≦ 1 のような上限は要求されない——ユークリッド距離はいくらでも大きくなれるが立派な距離だ。
Q4
ふつう
距離空間での収束 xₙ → a は？
かいせつ収束の定義は d(xₙ, a) → 0——ε-N論法の |aₙ − α| を d に置き換えたもの。単調である必要はなく、d(xₙ, a) ＝ 0 は正値の公理により xₙ ＝ a を意味するので、近づくだけの列を取りこぼす。
Q5
ふつう
位相空間の出発点は？
かいせつ位相空間は開集合の一覧（開集合系）そのものを出発点にする。距離は開集合を作る道具にすぎず、捨てても連続や収束は語れる——距離や座標を前提にしないからこそ距離空間より広い世界になる。
Q6
ふつう
連続の位相的な定義は？
かいせつ位相的な連続の定義は「開集合の逆像が開」。距離空間ではε-δの定義と完全に一致するが、εもδも距離も使わないぶん一般的だ。像でなく逆像であることに注意。
Q7
チャレンジ
コンパクト性が支える定理は？
かいせつコンパクト性（どんな開集合の覆いからも有限個を選び直せる性質）が支えるのは最大値の定理——空でないコンパクト空間上の実数値連続関数は、最大値と最小値を持つ。閉区間の「逃げ場のなさ」の正体だ。
Q8
チャレンジ
連結性が支える定理は？
かいせつ空間を、互いに交わらない2つの空でない開集合に分割できない性質が連結性。中間値の定理を支える性質であり、連結な空間の連続な像も連結だから、実数上では途中の値をとばせない。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！