章テスト
章テスト：ベクトル解析
この テストで たしかめる こと
- ベクトル場・線積分・面積分・積分定理をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら、場の解析は一通り手の中。複素解析（A10）——解析ルート最後の楽園へ！
A9「ベクトル解析」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
F ＝ (4x, 3y) の div F ＝ ？
かいせつdiv F ＝ ∂(4x)/∂x ＋ ∂(3y)/∂y ＝ 4 ＋ 3 ＝ 7。「x成分をxで、y成分をyで」微分してたす。
Q2
きほん
F ＝ (−3y, 2x) の rot F ＝ ？
かいせつrot F ＝ ∂F₂/∂x − ∂F₁/∂y ＝ 2 − (−3) ＝ 5。∂F₁/∂y ＝ −3 を引くので符号が反転する——たすき掛けの差の引き算に注意。
Q3
きほん
なめらかな関数の勾配場の rot は？
かいせつrot(∇f) ＝ ∂²f/∂x∂y − ∂²f/∂y∂x で、なめらかな関数では偏微分の順序交換により差はつねに 0。したがって勾配場は渦なし。逆に渦なしの場から大域的なポテンシャルを得るには、単連結性など領域についての条件も必要だ。
Q4
ふつう
F ＝ ∇f、f ＝ xy で (0,0)→(4,2) の線積分は？
かいせつ勾配場の線積分は端点だけで決まる：∫∇f・dr ＝ f(4, 2) − f(0, 0) ＝ 4 × 2 − 0 ＝ 8。途中の道は効かない。
Q5
ふつう
流れ (0, 0, 5) が水平な面積3の板を貫く流束は？
かいせつ水平な板の法線は真上 n ＝ (0, 0, 1) で、F・n ＝ 5 がどこでも一定。Φ ＝ 5 × 3 ＝ 15——流速×面積だ。
Q6
ふつう
rot F ＝ 2、面積 π の円の縁での線積分は □π。□は？
かいせつグリーンの定理より 線積分 ＝ ∬rot F dxdy ＝ rot × 面積 ＝ 2 × π ＝ 2π。
Q7
チャレンジ
F ＝ (x, y, z) の単位球面での流束は □π。□は？
かいせつ単位球面上では F は外向き法線と同じ向きで F・n ＝ |F| ＝ 1、表面積 4π をかけて 4π。発散定理で div F ＝ 3 × 体積 (4/3)π と計算しても同じ 4π になる。
Q8
チャレンジ
「縁の積分＝中身の微分の積分」の3次元版（流束）は？
かいせつ閉曲面の流束 ＝ 中身の div の体積積分（∭div dV）を結ぶのが発散定理（ガウス）。グリーンの定理は平面の閉曲線での2次元版で、流束を扱う3次元版が発散定理だ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！