章テスト
章テスト：ベクトル空間と固有値
この テストで たしかめる こと
- ベクトル空間・線形写像・固有値・内積空間をつかいこなせるかたしかめる
この章テストに合格したら線形代数は一通り完成。マイルストーンM4を越えて、多変数の微積分（A7）へ！
L2「ベクトル空間と固有値」の章テストだよ。
テスト
Q1
きほん
dim R⁴ ＝ ？
かいせつR⁴ の標準基底は e₁, e₂, e₃, e₄ の4本。基底の本数が次元だから dim R⁴ ＝ 4。
Q2
きほん
(1, 3) と (2, 6) は？
かいせつ(2, 6) ＝ 2 × (1, 3) と、一方が他方の定数倍で書けるから一次従属。内積は 2 ＋ 18 ＝ 20 ≠ 0 なので直交でもない。
Q3
きほん
線形写像が必ずみたすのは？
かいせつ線形性より f(0) ＝ f(0 ＋ 0) ＝ f(0) ＋ f(0) だから f(0) ＝ 0。どんな線形写像も原点を原点にうつす。
Q4
ふつう
f : R⁵ → R³ で dim Ker ＝ 2 のとき dim Im ＝ ？
かいせつ次元定理より dim Ker ＋ dim Im ＝ dim R⁵ ＝ 5。5 − 2 ＝ 3。
Q5
ふつう
[[5, 1], [0, 2]] の固有値のうち大きいほうは？
かいせつ上三角行列の固有値は対角成分の 5 と 2。大きいほうは 5。
Q6
ふつう
[[2, 1], [1, 2]] の固有値のうち小さいほうは？
かいせつ特性方程式は (2 − λ)² − 1 ＝ 0、つまり λ² − 4λ ＋ 3 ＝ (λ − 1)(λ − 3) ＝ 0。固有値は 1 と 3 で、小さいほうは 1。
Q7
ふつう
D ＝ [[2, 0], [0, 5]] の D² の (2, 2) 成分は？
かいせつ対角行列の累乗は対角成分をそれぞれ累乗するだけ。D² の (2, 2) 成分は 5² ＝ 25。
Q8
ふつう
(4, 2) と (1, −2) の内積は？
かいせつ4 × 1 ＋ 2 × (−2) ＝ 4 − 4 ＝ 0。内積 0 は直交のしるしだ。
Q9
チャレンジ
対称行列の特別な性質は？
かいせつ対称行列では固有ベクトルを正規直交基底に選べる（スペクトル定理）。固有値はすべて実数になるのも対称行列の特別さだ。
Q10
チャレンジ
Aⁿ を対角化で計算する式は？
かいせつA ＝ PDP⁻¹ なら Aⁿ ＝ PDP⁻¹PDP⁻¹… と間の P⁻¹P が消えて Aⁿ ＝ PDⁿP⁻¹。対角行列 Dⁿ は対角成分の n乗だけで計算できる。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
章テスト クリア！ すばらしい！