マイルストーンテスト
マイルストーンテスト M3：関数と微分積分
この テストで たしかめる こと
- 実数・複素数・三角比・関数・確率・数列・ベクトル・微分積分——第3区間の全部をつかいこなせるかたしかめる
高校数学の幹を修了する総しあげ。合格したら、線形代数と解析の厳密化——大学数学の第4区間へ！
3つめのマイルストーンテストだよ。N11、G4〜G6、A2〜A5、P1〜P2——関数と微分積分の第3区間、10の章から出題する。
テスト
Q1
きほん
(2 ＋ 3i)(2 − 3i) ＝ ？
かいせつ和と差の積で (2)² − (3i)² ＝ 4 − 9i² ＝ 4 ＋ 9 ＝ 13。共役複素数との積は 実数になる。
Q2
きほん
θは鋭角で sin θ ＝ 3/5 のとき cos θ は？「4/5」のように書いてね。
かいせつsin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 より cos²θ ＝ 1 − 9/25 ＝ 16/25。θ は鋭角で cos θ ＞ 0 だから 4/5。（3, 4, 5）の直角三角形だね。
Q3
きほん
y ＝ x² − 4x ＋ 7 の最小値は？
かいせつ平方完成すると y ＝ (x − 2)² ＋ 3。(x − 2)² ≧ 0 だから、x ＝ 2 のとき最小値 3。
Q4
ふつう
2ˣ ＝ 32 の解は？
かいせつ32 ＝ 2⁵ だから x ＝ 5。2 を何乗すると 32 になるかを考える。
Q5
ふつう
log₂8 ＋ log₂4 ＝ ？
かいせつlog₂8 ＝ 3、log₂4 ＝ 2。たして 5。log の和は log₂(8 × 4) ＝ log₂32 ＝ 5 としても同じ。
Q6
ふつう
sin 150° ＝ 1/□。□は？
かいせつ150° ＝ 180° − 30° だから sin 150° ＝ sin 30° ＝ 1/2。だから □ ＝ 2。
Q7
ふつう
₇C₂ ＝ ？
かいせつ₇C₂ ＝ (7 × 6) ÷ (2 × 1) ＝ 21。順番は関係ないから 2! で わる。
Q8
ふつう
コインを3回投げて表がちょうど2回出る確率は □/8。□は？
かいせつ出方は全部で 2³ ＝ 8通り。表2回の選び方は ₃C₂ ＝ 3通り。だから 3/8 で □ ＝ 3。
Q9
ふつう
初項3、公差4の等差数列の第10項は？
かいせつa₁₀ ＝ 3 ＋ (10 − 1) × 4 ＝ 3 ＋ 36 ＝ 39。
Q10
ふつう
a→ ＝ (3, 4) の大きさは？
かいせつ|a→| ＝ √(3² ＋ 4²) ＝ √25 ＝ 5。
Q11
ふつう
(1, 2) と (2, −3) の内積は？（−4 のように書いてね）
かいせつ内積は 成分の積の和。1 × 2 ＋ 2 × (−3) ＝ 2 − 6 ＝ −4。
Q12
チャレンジ
|3 ＋ 4i| ＝ ？
かいせつ|3 ＋ 4i| ＝ √(3² ＋ 4²) ＝ √25 ＝ 5。
Q13
チャレンジ
b ＝ 3、c ＝ 5、A ＝ 60° のとき余弦定理で a² ＝ ？
かいせつcos 60° ＝ 1/2。a² ＝ 3² ＋ 5² − 2 × 3 × 5 × 1/2 ＝ 9 ＋ 25 − 15 ＝ 19。
Q14
チャレンジ
y ＝ x³ − 3x の極大値は？
かいせつy′ ＝ 3x² − 3 ＝ 0 より x ＝ ±1。増減表から x ＝ −1 で極大。y(−1) ＝ −1 ＋ 3 ＝ 2。
Q15
チャレンジ
∫₀¹ 3x² dx ＝ ？
かいせつ3x² の原始関数は x³。x ＝ 1 と 0 を代入した差で 1³ − 0³ ＝ 1。
Q16
チャレンジ
lim (x→0) sin 3x/x ＝ ？
かいせつsin 3x/x ＝ 3 × sin 3x/(3x) と変形。x → 0 で sin 3x/(3x) → 1 だから、極限は 3。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
マイルストーン「関数と微分積分」とうたつ！ おめでとう！