マイルストーンテスト
マイルストーンテスト M4：線形代数と解析の厳密化
この テストで たしかめる こと
- 行列・ベクトル空間・写像と濃度・ε論法と微積分の理論——第4区間の全部をつかいこなせるかたしかめる
大学数学の基礎区間を修了する総しあげ。合格したら、多変数の微積分・確率論・統計へ——最終区間が待っている！
4つめのマイルストーンテストだよ。L1〜L2、S3、A6——線形代数と解析の厳密化の第4区間、4つの章から出題する。
テスト
Q1
きほん
[[1, 2], [3, 4]][[2, 0], [1, 1]] の (1, 1) 成分は？
かいせつ積の (1, 1) 成分は 左の1行目と 右の1列目の内積。1 × 2 ＋ 2 × 1 ＝ 4。
Q2
きほん
det [[3, 2], [1, 2]] ＝ ？
かいせつdet ＝ ad − bc ＝ 3 × 2 − 2 × 1 ＝ 6 − 2 ＝ 4。
Q3
きほん
x ＋ y ＝ 5、x − y ＝ 1 の解の x は？
かいせつ2つの式を たすと y が消えて 2x ＝ 6、x ＝ 3。y ＝ 2 で 3 − 2 ＝ 1 ✓
Q4
ふつう
f(x) ＝ 3x ＋ 1 の f⁻¹(10) ＝ ？
かいせつf⁻¹(10) は f(x) ＝ 10 となる x。3x ＋ 1 ＝ 10 より x ＝ 3。
Q5
ふつう
52 ≡ □ (mod 7)。□は？
かいせつ52 ＝ 7 × 7 ＋ 3 だから、7 で わった余りは 3。
Q6
ふつう
実数の集合は？
かいせつ対角線論法により 実数全体は 自然数と 1対1対応できない（非可算）。有理数は可算だが 実数は それより真に大きい。
Q7
ふつう
aₙ ＝ 1/n で |aₙ| ＜ 0.05 となる最小の N は？
かいせつ1/n ＜ 0.05 ⟺ n ＞ 20。n ＝ 20 では 1/20 ＝ 0.05 で成り立たず、n ＝ 21 から成り立つ。だから N ＝ 20。
Q8
ふつう
初項1、公比 1/2 の無限等比級数の和は？
かいせつ|公比| ＜ 1 だから収束して、和は a/(1 − r) ＝ 1/(1 − 1/2) ＝ 2。
Q9
ふつう
f(x) ＝ x² の [1, 5] で平均の傾きと一致する c は？
かいせつ[1, 5] の平均の傾きは (25 − 1)/(5 − 1) ＝ 6。f′(c) ＝ 2c ＝ 6 より c ＝ 3（平均値の定理）。
Q10
チャレンジ
sin x のテイラー展開 x − x³/□ ＋ …。□は？
かいせつsin x ＝ x − x³/3! ＋ x⁵/5! − …。3! ＝ 6 だから □ ＝ 6。
Q11
チャレンジ
[[3, 1], [0, 7]] の固有値のうち大きいほうは？
かいせつ上三角行列の固有値は対角成分の 3 と 7。大きいほうは 7。
Q12
チャレンジ
f : R⁶ → R⁴ で dim Ker ＝ 3 のとき dim Im ＝ ？
かいせつ次元定理より dim Ker ＋ dim Im ＝ 6。6 − 3 ＝ 3。
Q13
チャレンジ
lim (1/n)Σ(i/n)² ＝ 1/□。□は？
かいせつ区分求積法。この和は ∫₀¹ x² dx ＝ 1/3 に収束する。だから □ ＝ 3。
Q14
チャレンジ
実数の連続性が保証する定理は？
かいせつ単調で有界な数列が収束することは、実数の連続性（上限の存在）から導かれる。ほかの2つは実数の連続性とは無関係。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
マイルストーン「線形代数と解析の厳密化」とうたつ！ おめでとう！