マイルストーンテスト
マイルストーンテスト M5：修了総合テスト
この テストで たしかめる こと
- 数と代数・幾何・解析・線形代数・論理と集合・確率と統計——全ルートの力をたしかめる
数学ハイウェイ、終点。たし算から始まった道は、微積分・線形代数・確率統計まで届いた。ここに合格したら——修了、おめでとう！
最後のマイルストーンテストだよ。第5区間（A7〜A10、S4、P3〜P4）を中心に、全ルートから出題する。たし算から始まった長い道の、これが終点だ。
テスト
Q1
きほん
f ＝ x²y の ∂f/∂x を (2, 3) で評価すると？
かいせつy を定数とみなして x で微分すると ∂f/∂x ＝ 2xy。(2, 3) を代入して 2 × 2 × 3 ＝ 12。
Q2
きほん
長方形 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ 1 上の ∬xy dxdy ＝ ？
かいせつx積分 × y積分に分けられる。∫₀² x dx ＝ 2、∫₀¹ y dy ＝ 1/2。積は 2 × 1/2 ＝ 1。
Q3
きほん
y′ ＝ 6y の一般解は y ＝ Ce^(□t)。□は？
かいせつy ＝ Ce^(6t) を微分すると y′ ＝ 6Ce^(6t) ＝ 6y となり方程式をみたす。□ ＝ 6。
Q4
ふつう
y″ − 5y′ ＋ 6y ＝ 0 の特性方程式の解のうち大きいほうは？
かいせつλ² − 5λ ＋ 6 ＝ 0 は（λ − 2）（λ − 3）＝ 0。解は 2 と 3 で、大きいほうは 3。
Q5
ふつう
F ＝ (2x, 3y) の div F ＝ ？
かいせつdiv F ＝ ∂(2x)/∂x ＋ ∂(3y)/∂y ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5。
Q6
ふつう
rot F ＝ 2、面積 3 の領域の縁での線積分は？
かいせつグリーンの定理より 線積分 ＝ rot F × 面積 ＝ 2 × 3 ＝ 6（rot が定数のとき）。
Q7
ふつう
f(z) ＝ 4/(z − 1) の z ＝ 1 での留数は？
かいせつ1位の極 z ＝ 1 での留数は (z − 1)f(z) の極限で、そのまま分子の 4。
Q8
ふつう
(0, 0) と (3, 4) のマンハッタン距離は？
かいせつマンハッタン距離は |Δx| ＋ |Δy| ＝ 3 ＋ 4 ＝ 7。ユークリッド距離なら 5 になるところ。
Q9
ふつう
E[X] ＝ 2 のとき E[3X ＋ 4] ＝ ？
かいせつ期待値の線形性で E[3X ＋ 4] ＝ 3E[X] ＋ 4 ＝ 3 × 2 ＋ 4 ＝ 10。
Q10
ふつう
正規分布で μ ± 2σ に入る確率は約何%？
%
かいせつ正規分布では μ ± σ に約68%、μ ± 2σ に約95%、μ ± 3σ に約99.7% が入る。
Q11
チャレンジ
∮dz/z（原点を囲む）＝ □πi。□は？
かいせつコーシーの積分公式の基本形。原点を1周まわる ∮dz/z ＝ 2πi。だから □ ＝ 2。
Q12
チャレンジ
コイン100回の表の回数の標準偏差は？
かいせつ二項分布の標準偏差は √(np(1−p)) ＝ √(100 × 1/2 × 1/2) ＝ √25 ＝ 5。
Q13
チャレンジ
σ ＝ 10、n ＝ 25、x̄ ＝ 50 の95%信頼区間は 50 ± ？
かいせつ標準誤差は σ/√n ＝ 10/√25 ＝ 2。95%信頼区間は x̄ ± 1.96 × 2 ≒ 50 ± 4。
Q14
チャレンジ
仮説検定の論理の型は？
かいせつ「帰無仮説が正しいとすると、こんなに珍しいことが起きる確率は小さすぎる」と棄却する論理で、背理法の確率版といえる。
Q15
チャレンジ
回帰直線 y ＝ 2x ＋ 1 で x ＝ 7 の予測値は？
かいせつx ＝ 7 を代入して y ＝ 2 × 7 ＋ 1 ＝ 15。
Q16
チャレンジ
∫e^(−x²)dx（全実数）＝ ？
かいせつガウス積分。∫e^(−x²)dx（全実数）＝ √π。2乗して極座標に変換すると π が出ることから導かれる。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
マイルストーン「修了総合テスト」とうたつ！ おめでとう！