数列の極限

届かないのに、行き先はある

数列 1/2、1/4、1/8、1/16、…（公比 1/2 の等比数列）を追いかけてみよう。どの項も0ではない。この先どれだけ進んでも、0そのものにはならない。

でも、10項目で約0.001、20項目で約0.000001——0との距離はいくらでも小さくできる。この状況を「限りなく0に近づく」といい、こう書く：

\[\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0\]

lim は limit（極限）、∞は「限りなく大きく」の記号。「行き先が値αに定まる」とき数列は収束するという。届くかどうかではなく、行き先がどこか——視点の転換が極限のすべてだ。

基本の極限を2つ、体で覚えよう：

\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \qquad |r| < 1 \text{ のとき } \lim_{n \to \infty} r^n = 0\]

一方、aₙ ＝ n や aₙ ＝ 2ⁿ はどこまでも大きくなる（発散する、∞と書く）。1、−1、1、−1、…のように行き先が定まらない数列も収束しない。

極限の計算 — nでわる定石

例1 ：aₙ ＝ (2n ＋ 1)/n の極限は？

\[\frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \longrightarrow 2 + 0 = 2\]

例2 ：aₙ ＝ (3n ＋ 2)/(n ＋ 1) の極限は？ 分母・分子を n でわって——

\[\frac{3 + 2/n}{1 + 1/n} \longrightarrow \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3\]

∞/∞ の形は、そのままでは判定できない。分母の主役（いちばん大きく育つ項）でわって、1/n の形をあぶり出す——これが定石だ。

検算：n ＝ 1000 を代入してみる。3002/1001 ≒ 2.999 ✓ たしかに3に近い。

例3 ：0.999…（9が無限に続く）の正体は？

0.9、0.99、0.999、…という数列の極限だ。1との差は 1/10ⁿ → 0。つまり 0.999… ＝ 1。「ほとんど1」ではなく、極限の定義のもとでちょうど1——N4の循環小数の謎に、極限が最終回答を出した。

よくあるまちがい

その1：「限りなく近づく」を「いつか等しくなる」と読む。 1/n はどのnでも0ではない。極限の主張は「差をいくらでも小さくできる」であって「到達する」ではない。

その2：∞ を数のように計算する。 「∞ − ∞ ＝ 0」「∞/∞ ＝ 1」は誤り。n² − n も n − n² も ∞ − ∞ の形だが、行き先は ＋∞ と −∞ で正反対。形を見たら変形してから極限をとる。

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