関数の極限の入り口

今度は「xを近づける」

数列では n を大きくした。今度は、xをある値aに近づける。

\[\lim_{x \to a} f(x)\]

「x ＝ a」ではなく「x を a に限りなく近づける」——ここが肝心だ。

例1 ：lim (x→2) (x² ＋ 1) ＝ ？

f(x) ＝ x² ＋ 1 はなめらかな放物線。xが2に近づけば x² ＋ 1 は 5 に近づく。素直に代入するだけ：答え 5。多項式のようなつながった（連続な）関数では、極限 ＝ 代入でいい。

本番は 0/0 — 代入が壊れるとき

では、これはどうだろう。

\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]

x ＝ 1 を代入すると 0/0——0でわることはできない（N3以来の掟）。この関数は x ＝ 1 に「穴」があいている。

でも、極限が聞いているのは x ＝ 1 での値ではなく、1に近づいたときの行き先。x ≠ 1 の世界では因数分解して約分できる：

\[\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1\]

x を1に近づければ x ＋ 1 → 2。穴の直前・直後の値（x ＝ 0.999 なら 1.999、x ＝ 1.001 なら 2.001）が、たしかに2を指している ✓

例2 ：lim (x→3) (x² − 9)/(x − 3) ＝ lim (x→3) (x ＋ 3) ＝ 6。

例3 ：h を0に近づける形も同じだ。

\[\lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4\]

この形をよく見ておいて——「(2 ＋ h)² と 2² の差を h でわって、h → 0」。次のたんげんで、これが瞬間の速さ（微分係数）の定義そのものになる。0/0 の極限をほどく技術は、微分の準備運動なんだ。

よくあるまちがい

その1：0/0 を見て「答えは0」または「答えなし」と即断する。 0/0 は「このままでは判定できない」の合図であって、答えではない。約分などの変形で正体を暴くまでが仕事だ。

その2：極限と代入値の混同。 (x² − 1)/(x − 1) は x ＝ 1 で定義されないが、極限は2で存在する。「その点での値」と「近づいた行き先」は別の概念——だからこそ穴があっても行き先を語れる。

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