方程式と 解

等式 — つり合いの式

＝（等号）で結ばれた式を等式というよ。等式は「左右がつり合ったてんびん」のイメージだ。

\[3 + 4 = 7 \qquad 2 \times 5 = 10\]

これらはいつでも正しい等式。ところが、文字が入るとようすが変わる。

方程式 — 条件をつきつける等式

\[2x + 1 = 7\]

この等式は、x の値しだいで運命が変わる。ためしにいくつか代入してみよう。

x	左辺 2x ＋ 1	等式は…
1	3	成り立たない（3 ≠ 7）
2	5	成り立たない（5 ≠ 7）
3	7	成り立つ！（7 ＝ 7）
4	9	成り立たない（9 ≠ 7）

このように、文字の値によって成り立ったり成り立たなかったりする等式を方程式（ほうていしき）という。方程式は「この等式を成り立たせる x を探せ」という条件なんだ。

そして方程式を成り立たせる値（この例では 3）を方程式の解（かい）といい、解をすべて求めることを「方程式を解く」というよ。

「解の確かめ」はいつでもできる

だれかが「解は x ＝ 5 だ」と言ったら、正しいかどうかは代入すればすぐわかる。2 × 5 ＋ 1 ＝ 11 ≠ 7 だから、これはまちがい。

逆に言えば、方程式には「答え合わせが自分でできる」という素晴らしい性質がある。このあと方程式を解く技をいくつも学ぶけれど、最後は必ず代入で確かめる——これをくせにしておくと、どんな複雑な方程式でも安心して解けるよ。

あてずっぽうの限界

上の表のように小さい整数なら代入して探せる。でも、解が 3/7 だったら？ −218 だったら？ しらみつぶしでは一生見つからないかもしれない。

だから次のステップでは、どんな方程式でも確実に解へたどり着く方法——等式の性質——を手に入れよう。

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