等式の性質と 移項

てんびんの両側に同じことをする

つり合ったてんびんを思いうかべよう。両側に同じ重さをのせても、両側から同じ重さを取りのぞいても、両側の重さを同時に2倍にしても、つり合いはくずれない。

等式もまったく同じで、次の4つの操作をしても等式は成り立ったままだ。これを等式の性質という。

\(A = B \ ならば \quad A + C = B + C \qquad A - C = B - C\) \(A \times C = B \times C \qquad A \div C = B \div C \quad (Cは0でない)\)

この性質だけを使って、方程式を解いてみよう。作戦はただひとつ——操作をくり返して、最後に「x ＝ 数」の形だけを残すことだ。

例1 ：x ＋ 3 ＝ 8 を解く。

左辺を x だけにしたいから、じゃまな「＋3」を消したい。両辺から3をひく。

\(x + 3 - 3 = 8 - 3\) \(x = 5\)

例2 ：x − 4 ＝ 9 を解く。こんどは「−4」がじゃまだから、両辺に4をたす。

\(x - 4 + 4 = 9 + 4\) \(x = 13\)

例3 ：3x ＝ 12 を解く。x が3個ぶんあるのだから、両辺を3でわる。

\(3x \div 3 = 12 \div 3\) \(x = 4\)

例4 ：x/5 ＝ 2 を解く。5でわられているのだから、逆に両辺に5をかける。

\(\frac{x}{5} \times 5 = 2 \times 5\) \(x = 10\)

どの例も、「x に何がされているか」を見て、その逆の操作を両辺にしている。たし算の逆はひき算、かけ算の逆はわり算だ。

移項 — 性質から生まれる近道

例1をもう一度よく見てみよう。

\[x + 3 = 8 \quad \rightarrow \quad x = 8 - 3\]

左辺にあった「＋3」が消えて、右辺に「−3」が現れている。これは魔法ではなく、「両辺から3をひいた」結果を1行にまとめただけだ。

例2でも同じことが起きている。

\[x - 4 = 9 \quad \rightarrow \quad x = 9 + 4\]

左辺の「−4」が、右辺では「＋4」になった。つまり——

項は、符号を変えれば、等号の反対側へ移すことができる。

これを移項（いこう）という。いちいち「両辺から〜をひく」と書かずにすむ、とても便利な近道だ。ただし正体はあくまで等式の性質。「なぜ符号が変わるの？」と聞かれたら、「両辺に同じ操作をした結果だから」と答えられるようにしておこう。

移項を使って解く

例5 ：2x ＋ 1 ＝ 7 を解く。

\(2x = 7 - 1 \qquad （＋1を右辺へ移項）\) \(2x = 6\) \(x = 3 \qquad （両辺を2でわる）\)

検算：x ＝ 3 をもとの式に入れると 2 × 3 ＋ 1 ＝ 7 ✓

例6 ：4x − 7 ＝ 9 を解く。

\(4x = 9 + 7 \qquad （−7を右辺へ移項）\) \(4x = 16\) \(x = 4\)

検算：4 × 4 − 7 ＝ 9 ✓

例7 ：x をふくむ項が両辺にあるとき。5x ＝ 3x ＋ 8 を解く。

\(5x - 3x = 8 \qquad （3xを左辺へ移項）\) \(2x = 8\) \(x = 4\)

検算：左辺 5 × 4 ＝ 20、右辺 3 × 4 ＋ 8 ＝ 20 ✓

例8 ：全部の技を使う。7x − 3 ＝ 4x ＋ 9 を解く。

\(7x - 4x = 9 + 3 \qquad （xの項は左へ、数の項は右へ）\) \(3x = 12\) \(x = 4\)

検算：左辺 7 × 4 − 3 ＝ 25、右辺 4 × 4 ＋ 9 ＝ 25 ✓

「xの項を左辺へ、数だけの項を右辺へ」が定石。移項するたびに符号が変わることだけ、ていねいに確認しよう。

よくあるまちがい

まちがい1：符号を変え忘れる

\[x + 3 = 8 \quad \rightarrow \quad x = 8 + 3 = 11 \quad ✗\]

検算すると 11 ＋ 3 ＝ 14 ≠ 8。成り立たない。移項では必ず符号が変わる。

まちがい2：かけ算の係数まで「移項」してしまう

\[2x = 6 \quad \rightarrow \quad x = 6 - 2 = 4 \quad ✗\]

検算すると 2 × 4 ＝ 8 ≠ 6。移項できるのはたし算・ひき算でつながった項だけ。係数の2は「両辺を2でわる」で処理する（x ＝ 3 が正解）。

まちがえたかどうかは、答えをもとの式に代入すればすぐわかる。解いたら検算——この習慣が、方程式をまちがえない一番の近道だよ。

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