ステップ G3-8-1

定理と証明

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直角をはさむ2辺a、bと斜辺cについて a²＋b²＝c²。1辺(a＋b)の正方形の面積を2通りに数えると証明できる。

直角三角形で、直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とすると——

\[a^2 + b^2 = c^2\]

例1 ：a ＝ 3、b ＝ 4 なら c² ＝ 9 ＋ 16 ＝ 25、よって c ＝ 5。（3, 4, 5）は最も有名な直角三角形だ。

1辺が (a ＋ b) の大きな正方形を用意し、4すみに同じ直角三角形を4枚、風車のように配置する。すると中央には1辺 c の正方形（傾いた正方形——4つの角が直角になることは、直角三角形の2つの鋭角の和が90°であることから確かめられる）が残る。

大きな正方形の面積を2通りに数えよう。

\[(a + b)^2 = c^2 + 4 \times \frac{ab}{2}\]

左辺を展開（乗法公式！）して整理すると——

\[a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \quad \rightarrow \quad a^2 + b^2 = c^2 \quad ∎\]

同じ面積を2通りに数える——展開の単元で見たあの発想が、歴史的定理を証明してしまった。

例2 ：斜辺13、1辺5の直角三角形の残りの辺は？　b² ＝ 13² − 5² ＝ 169 − 25 ＝ 144、b ＝ 12。（5, 12, 13）も覚えておくと便利な組だ。

例3 ：1辺1の正方形の対角線は？　c² ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 で c ＝ √2。——平方根（N10章）がここで必需品になる。√2という「分数で書けない長さ」が、こんな身近な図形にひそんでいたんだ。

Q1 きほん

直角をはさむ2辺が6と8の直角三角形の斜辺は？

Q2 きほん

斜辺が13、1辺が12の直角三角形の残りの辺は？

Q3 ふつう

直角をはさむ2辺が1と1の直角三角形の斜辺は √□。□は？

Q4 ふつう

直角をはさむ2辺が2と3の直角三角形の斜辺は √□。□は？

Q5 ふつう

面積による証明で使った代数の道具は？

Q6 チャレンジ

縦9cm、横12cmの長方形の対角線は何cm？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。