ステップ G3-8-2
三平方の定理の 活用
この ページで まなぶ こと
- 特別な直角三角形の辺の比を使えるようになる
- 座標平面上の2点間の距離を求められるようになる
45°の直角二等辺三角形は 1:1:√2、30°60°の三角形は 1:2:√3。座標平面の2点間の距離も三平方で計算できる。
覚えておきたい2つの三角形
三角じょうぎの2枚は、辺の比が決まっている。
- 直角二等辺三角形（45°・45°・90°）……1 : 1 : √2（1² ＋ 1² ＝ 2）
- 30°・60°・90°の三角形……1 : √3 : 2（正三角形を半分に切った形。1² ＋ (√3)² ＝ 4 ✓）
例1 ：1辺6cmの正方形の対角線は 6√2 cm。1辺6cmの正三角形の高さは、半分に切って 3√3 cm。
座標平面に橋をかける
座標平面上の2点 A(1, 2) と B(4, 6) の距離は？ 横の差 3、縦の差 4 を直角をはさむ2辺とする直角三角形を考えれば——
\[AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\]一般に、2点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) の距離は
\[\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]幾何の定理が、座標の世界の距離の公式に化けた。この公式は、このあと「図形と方程式」（G5章）で円の方程式を生み出す種になる。
直角かどうかの判定
定理は逆も成り立つ：3辺が a² ＋ b² ＝ c² を満たす三角形は直角三角形である。たとえば辺が（6, 8, 10）なら 36 ＋ 64 ＝ 100 ✓ で直角三角形。古代エジプトでは、ロープの結び目でこの性質を使い、直角を作ったと言われているよ。
れんしゅう
Q1
きほん
1辺4cmの正方形の対角線は 4√□ cm。□は？
かいせつ正方形を対角線で切ると直角二等辺三角形（45°・45°・90°）で、辺の比は 1 : 1 : √2。1辺4cmなら対角線は 4√2 cm。
Q2
きほん
30°・60°・90°の三角形で、いちばん短い辺が5のとき、斜辺は？
かいせつ30°・60°・90°の三角形の辺の比は 1 : √3 : 2。斜辺はいちばん短い辺の2倍だから、5 × 2 ＝ 10。
Q3
ふつう
2点 (0, 0) と (5, 12) の距離は？
かいせつ横の差5、縦の差12を直角をはさむ2辺とする直角三角形を考えると、距離 ＝ √(5² ＋ 12²) ＝ √169 ＝ 13。
Q4
ふつう
1辺8cmの正三角形の高さは 4√□ cm。□は？
かいせつ正三角形を半分に切ると30°・60°・90°の三角形。斜辺8cm、底辺4cmだから、高さは √(8² − 4²) ＝ √48 ＝ 4√3 cm。
Q5
ふつう
辺の長さが（9, 12, 15）の三角形は？
かいせつ9² ＋ 12² ＝ 81 ＋ 144 ＝ 225 ＝ 15²。a² ＋ b² ＝ c² が成り立つから、三平方の定理の逆より直角三角形。（3, 4, 5）を3倍した組だ。
Q6
チャレンジ
2点 (−1, 3) と (2, 7) の距離は？
かいせつ横の差は 2 − (−1) ＝ 3、縦の差は 7 − 3 ＝ 4。距離 ＝ √(3² ＋ 4²) ＝ √25 ＝ 5。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！