ステップ G3-8-2

三平方の定理の 活用

この ページで まなぶ こと

  • 特別な直角三角形の辺の比を使えるようになる
  • 座標平面上の2点間の距離を求められるようになる

45°の直角二等辺三角形は 1:1:√2、30°60°の三角形は 1:2:√3。座標平面の2点間の距離も三平方で計算できる。

覚えておきたい2つの三角形

三角じょうぎの2枚は、辺の比が決まっている。

  • 直角二等辺三角形（45°・45°・90°）……1 : 1 : √2（1² ＋ 1² ＝ 2）
  • 30°・60°・90°の三角形……1 : √3 : 2（正三角形を半分に切った形。1² ＋ (√3)² ＝ 4 ✓）

例1 ：1辺6cmの正方形の対角線は 6√2 cm。1辺6cmの正三角形の高さは、半分に切って 3√3 cm。

座標平面に橋をかける

座標平面上の2点 A(1, 2) と B(4, 6) の距離は？　横の差 3、縦の差 4 を直角をはさむ2辺とする直角三角形を考えれば——

\[AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\]

一般に、2点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) の距離は

\[\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

幾何の定理が、座標の世界の距離の公式に化けた。この公式は、このあと「図形と方程式」（G5章）で円の方程式を生み出す種になる。

直角かどうかの判定

定理は逆も成り立つ：3辺が a² ＋ b² ＝ c² を満たす三角形は直角三角形である。たとえば辺が（6, 8, 10）なら 36 ＋ 64 ＝ 100 ✓ で直角三角形。古代エジプトでは、ロープの結び目でこの性質を使い、直角を作ったと言われているよ。

れんしゅう

Q1 きほん

1辺4cmの正方形の対角線は 4√□ cm。□は？

Q2 きほん

30°・60°・90°の三角形で、いちばん短い辺が5のとき、斜辺は？

Q3 ふつう

2点 (0, 0) と (5, 12) の距離は？

Q4 ふつう

1辺8cmの正三角形の高さは 4√□ cm。□は？

Q5 ふつう

辺の長さが（9, 12, 15）の三角形は？

Q6 チャレンジ

2点 (−1, 3) と (2, 7) の距離は？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。