平行四辺形の 性質

3つの性質

平行四辺形（2組の向かいあう辺がそれぞれ平行な四角形）には、次の性質がある。

1. 向かいあう辺はそれぞれ等しい
2. 向かいあう角はそれぞれ等しい
3. 対角線はそれぞれの中点で交わる

性質①を証明する

平行四辺形ABCDに、対角線ACを引く（補助線はたった1本）。

△ABCと△CDAにおいて——

• ∠BAC ＝ ∠DCA（AB∥DC の錯角）
• ∠BCA ＝ ∠DAC（AD∥BC の錯角）
• AC ＝ CA（共通）

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△ABC ≡ △CDA。よって AB ＝ CD、BC ＝ DA。∎

平行という仮定が、錯角を通して角の相等に変換される——「平行線と角」で証明した性質が、ここでも主役だ。性質②はこの合同から∠B ＝ ∠Dが出て、もう一方の対角線で∠A ＝ ∠C。性質③は対角線2本で出会う三角形の合同（錯角2組と辺1組）から証明できる。

性質は「使う」もの

例 ：平行四辺形ABCDで AB ＝ 5cm、BC ＝ 8cm、∠A ＝ 110° とすると——性質①から CD ＝ 5cm、DA ＝ 8cm。性質②から ∠C ＝ 110°。さらにAB∥DCの同側内角（和180°）から ∠B ＝ 70°。ひとつの図形について、少ない情報から次々に値が決まっていく。

れんしゅう