ステップ G3-4-2

平行四辺形に なる条件

この ページで まなぶ こと

  • 四角形が平行四辺形であるための条件を使えるようになる
  • 特別な平行四辺形（長方形・ひし形・正方形）の位置づけを整理する

「2組の対辺が等しい」「2組の対角が等しい」「対角線が中点で交わる」「1組の対辺が平行で等しい」——どれか1つで平行四辺形と断定できる。

逆向きの問い

前ステップは「平行四辺形ならばこうなる」だった。今度は逆、「どうなっていれば平行四辺形か」。S1章で学んだとおり、逆は別に証明がいる——そして証明すると、次の条件たちが手に入る。

四角形は、次のどれか1つが成り立てば平行四辺形である。

  1. 2組の向かいあう辺がそれぞれ平行（定義そのもの）
  2. 2組の向かいあう辺がそれぞれ等しい
  3. 2組の向かいあう角がそれぞれ等しい
  4. 対角線がそれぞれの中点で交わる
  5. 1組の向かいあう辺が、平行で、かつ等しい

たとえば②は、対角線を引いて「3組の辺」の合同から錯角の相等を導き、平行を結論する——性質①の証明を逆回しにした構造だ。

条件⑤は実戦で最頻出。「AD∥BC、AD ＝ BC」の2つだけで平行四辺形と断定できるから、証明がぐっと短くなる。

特別な平行四辺形の整理

平行四辺形に条件を足すと（G1章の復習＋αで）——

  • ＋「1つの角が直角」→ 長方形（1つ直角なら性質②③から全部直角になる！）
  • ＋「となりあう辺が等しい」→ ひし形
  • 両方 → 正方形

対角線で見ると、長方形は対角線の長さが等しい平行四辺形、ひし形は対角線が垂直に交わる平行四辺形。対角線だけで四角形の正体が見分けられるんだ。

れんしゅう

Q1 きほん

四角形ABCDで AB ＝ DC、AD ＝ BC のとき言えることは？

Q2 きほん

対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は？

Q3 ふつう

「1組の対辺が平行で、かつ等しい」だけで平行四辺形といえるかな？

Q4 ふつう

平行四辺形に「対角線の長さが等しい」を足すと？

Q5 ふつう

平行四辺形に「対角線が垂直に交わる」を足すと？

Q6 チャレンジ

「1組の対辺が平行（だけ）」の四角形は？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。