外心と 内心

線の「意味」を知る

線分ABの垂直二等分線（中点を通り垂直な直線）には、こんな意味がある。

垂直二等分線上の点は、AとBから等距離にある。（逆も成り立つ）

証明は直角三角形の合同（斜辺と他の1辺）で一撃だ。つまり垂直二等分線とは「AとBからの距離が引き分けになる点の集まり」なんだ。

外心 — 3頂点から等距離

三角形ABCで、辺ABの垂直二等分線と辺BCの垂直二等分線の交点をOとする。

• Oは辺ABの垂直二等分線上 → OA ＝ OB
• Oは辺BCの垂直二等分線上 → OB ＝ OC

つなげると OA ＝ OB ＝ OC。Oは3つの頂点から等距離！　すると OA ＝ OC だから、Oは辺CAの垂直二等分線にも乗っている——3本目は自動的にOを通る。3本が1点で交わるのは偶然ではなかった。

この点を外心（がいしん）といい、Oを中心に半径OAの円をかくと3頂点をすべて通る——外接円（がいせつえん）だ。

内心 — 3辺から等距離

同じ理屈のペアがもうひとつ。角の二等分線上の点は、角の2辺から等距離（こちらも直角三角形の合同で証明できる）。

だから2つの角の二等分線の交点 I は3辺すべてから等距離で、3本目の二等分線も I を通る。この点が内心（ないしん）。I を中心に3辺すべてにぴったり接する円——内接円——がかける。

外心は「頂点たちの中心」、内心は「辺たちの中心」。 線の意味（等距離の集まり）さえつかめば、どちらも同じ論法で出てくるんだ。

れんしゅう