ステップ G3-6-2

重心

このページでまなぶこと

頂点と対辺の中点を結ぶ線が中線。3本の中線は1点（重心）で交わり、重心は各中線を頂点側から2:1に分ける。

頂点と、向かいあう辺の中点を結ぶ線分を中線（ちゅうせん）というよ。中線は3本あり、これもまた1点で交わる。その点が重心（じゅうしん）Gだ。

重心にはさらに美しい性質がある。

重心は、各中線を頂点側から 2 : 1 に分ける。

中線BM、CNの交点をGとしよう（M、NはそれぞれCA、ABの中点）。MとNは2辺の中点だから、中点連結定理（相似のたんげん！）より

\[MN \parallel BC, \quad MN = \frac{1}{2}BC\]

すると△GBCと△GMNは、平行線の錯角2組により2組の角がそれぞれ等しく相似で、相似比は BC : MN ＝ 2 : 1。対応する辺の比から

\[BG : GM = CG : GN = 2 : 1\]

3本目の中線についても同じ議論が効いて、やはりGを2:1に分ける点で交わる。中点連結定理と相似——この章で積んだ部品が、また新しい定理を生んだ。

重心の名は伊達ではない。厚紙の三角形を切り出して重心の位置を指で支えると、ぴたりと水平につり合う。数学の点が、物理の世界でも意味を持つ——工作でぜひ確かめてみてほしい。

Q1 きほん

中線とは？

Q2 きほん

重心は中線を頂点側から □ : 1 に分ける。□は？

Q3 ふつう

中線の長さが12cmのとき、頂点から重心までは何cm？

Q4 ふつう

重心が2:1に分けることの証明で使った定理は？

Q5 チャレンジ

重心から中点までの距離が3cmのとき、中線全体の長さは何cm？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。