二等辺三角形の 定理

用語の整理

二等辺三角形で、等しい2辺にはさまれた角を頂角、残りの2つの角を底角（ていかく）、頂角の対辺を底辺というよ。

定理：二等辺三角形の2つの底角は等しい。

証明 — 折り目を式にする

AB ＝ AC の二等辺三角形ABCで、頂角Aの二等分線を引き、底辺BCとの交点をDとする（補助線！）。

△ABDと△ACDにおいて——

• AB ＝ AC（仮定）
• ∠BAD ＝ ∠CAD（ADは角の二等分線）
• AD ＝ AD（共通な辺）

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△ABD ≡ △ACD。合同な図形の対応する角は等しいから——

\[\angle B = \angle C \quad ∎\]

「自分自身と共通だから等しい」という3つめの根拠に注目。紙を折ってぴったり重なる、あの直観（線対称）が、証明ではこの一行に化けるんだ。

逆も成り立つ

逆：2つの角が等しい三角形は、二等辺三角形である（等しい角の対辺どうしが等しい）。

こちらも同様に証明できる（角の二等分線を引き、今度は「1組の辺と両端の角」を使う）。定理とその逆がともに真——つまり「2辺が等しい」と「2角が等しい」は必要十分条件だ（S1章のことばが図形で生きている）。逆は成り立つとは限らないからこそ、成り立つときは別に証明がいる——その手続きを踏んだからこそ、堂々と両方向に使えるんだよ。

おまけ：さっきの合同からは BD ＝ CD、∠ADB ＝ ∠ADC（＝90°）も出る。つまり頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。1回の証明が3つの事実を生んだ。

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