濃度と可算集合

数えられないなら、対応させればいい

劇場の席がぜんぶ埋まっていて立ち見もいなければ、数えなくても「席の数＝客の数」とわかる——1対1の対応（全単射）があるからだ。

この考えなら無限集合の大きさも比べられる。

全単射 f : A → B が存在するとき、AとBは同じ濃度（のうど）を持つという。有限集合なら濃度＝個数。無限集合では、濃度が「個数」の代役になる。

偶数は自然数の「半分」……ではない

自然数 {1, 2, 3, …} と偶数 {2, 4, 6, …}。偶数は自然数の一部だから少ない——そう思える。でも f(n) ＝ 2n という写像は、S3で確かめたとおり単射で、偶数への写像としては全射——つまり全単射だ。

\[1 \leftrightarrow 2, \quad 2 \leftrightarrow 4, \quad 3 \leftrightarrow 6, \quad \cdots\]

もれもかぶりもないペア。よって自然数と偶数は同じ濃度。無限の世界では、部分が全体と同じ大きさになりうる——有限の常識が通用しない、無限の第一の驚きだ。

自然数と同じ濃度の集合を可算集合（数え上げられる集合）という。「1番目、2番目、…」と一列に並べられることと同じ意味だ。

整数も、有理数さえも可算

例1（整数） ：0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, … と交互に並べれば一列になる。整数は可算 ✓

例2（有理数） ：正の分数 p/q を、p ＋ q の小さい順に表に並べてジグザグにたどる：

\[\frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \cdots\]

（既出の値はスキップ。）どの分数もいつかは必ず番号が付く——有理数も可算！ 数直線上にびっしり詰まっている（N11：稠密）のに、濃度は自然数と同じ。「詰まり具合」と「多さ」は別の概念なのだ。

では、すべての無限集合は可算なのか？ ——その答えは次のステップで。数学史上もっとも美しい証明のひとつが待っている。

よくあるまちがい

その1：「部分だから少ない」を無限に持ち込む。 有限集合では正しい直観（真部分集合は小さい）が、無限集合では崩れる。頼れるのは直観でなく全単射の有無だ。

その2：「並べ方が思いつかない＝可算でない」と結論する。 有理数のように、並べ方が非自明なだけの可算集合がある。可算でないことを言うには、「どんな並べ方も失敗する」証明が要る——それが次のステップの対角線論法だ。

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