たんげんテスト S3-3-3
たんげんテスト：濃度
この ページで まなぶ こと
- 濃度・可算・対角線論法をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらS3章は完了！ 章テストへ進もう。
「濃度」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
濃度が同じことの定義は？
かいせつ全単射 f : A → B が存在するとき、AとBは同じ濃度を持つ——これが定義。1対1の対応がつくかどうかがすべてで、部分集合かどうかや数の種類は関係ない。
Q2
きほん
自然数と偶数の濃度は？
かいせつf(n) ＝ 2n が自然数から偶数への全単射になる（1 ↔ 2、2 ↔ 4、3 ↔ 6、…）から、濃度は同じ。無限の世界では、部分が全体と同じ大きさになりうる。
Q3
きほん
有理数の集合は？
かいせつ分数 p/q を p ＋ q の小さい順にジグザグにたどれば一列に並ぶ——有理数は可算。並べ方が非自明なだけで、自然数と全単射がつく。
Q4
きほん
実数の集合は？
かいせつ実数を一列に並べたと仮定すると、対角線論法でリストにない実数が作れて矛盾する。実数は非可算——自然数より真に大きい無限だ。
Q5
ふつう
対角線論法で作る b の特徴は？
かいせつb は n 番目の数と第 n 位で必ずちがうように作る——どの行とも少なくとも1桁ちがうから、リストのどこにもない。循環小数になる保証はない（だから有理数のリストには同じ論法が効かない）。
Q6
ふつう
f(n) ＝ 2n の対応で偶数20に対応する自然数は？
かいせつ2n ＝ 20 を解くと n ＝ 10。全単射だから、偶数20に対応する自然数はただひとつ10に決まる。
Q7
チャレンジ
無限の濃度の階層は？
かいせつどんな集合にも、そのべき集合（部分集合全体）は真に大きい濃度を持つ——カントールの定理。だから可算無限、実数の濃度の先にも、より大きい無限が次々と現れ、階層はどこまでも続く。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！