行列の意味と和・スカラー倍

数の表に、演算を与える

2つの店の、2品目の売上表を考えよう。

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\]

このように数を長方形にならべ、かっこでくくったものが行列だ。横のならびを行（上から第1行、第2行）、たてのならびを列（左から第1列、第2列）という。行がm本、列がn本なら m×n型。上の行列は 2×2 型（正方行列）だ。

第i行・第j列の数を (i, j) 成分と呼ぶ。Aの (1, 2) 成分は1、(2, 1) 成分は4。行が先、列が後——「行ってから列ぶ」と覚えよう。

和・差・スカラー倍 — 成分ごとに

昨日の売上Aと今日の売上B、2日分の合計は？ 当然、同じ場所どうしをたす。

\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\]

差も同様に成分ごと。スカラー倍（数を掛ける）は全成分に掛ける：2A は各成分が2倍。

……ベクトルの成分計算（G5）とまったく同じ精神だ。実際、n×1 型の行列（たての1列）は列ベクトル——ベクトルは行列の特別な場合だったのだ。

例1 ：3A − B（上のA、B）の (2, 2) 成分は 3 × 2 − 3 ＝ 3。

和が定義できるのは同じ型どうしだけ。2×2 と 2×3 はたせない——表の形が合わないものを重ねられないのは、当然の約束だ。

ゼロ行列 — 行列の「0」

全成分が0の行列をゼロ行列 O という。A ＋ O ＝ A——数の0と同じ役割。数の世界の道具（0、1、逆数…）を行列の世界に一つずつ移植していくのが、この章の道筋だ。「1にあたる行列」は次のステップで登場する。

よくあるまちがい

その1：行と列の取りちがえ。 (1, 2) 成分は「第1行・第2列」。転んでも「行が先」。型の読み「m×n」も行数が先だ。

その2：型のちがう行列をたす。 2×2 ＋ 2×3 は定義されない。計算の前に型を確認——行列の世界の「単位チェック」だよ。

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