行列の積・単位行列・逆行列

積は「行×列の内積」

行列のかけ算は、成分ごとではない。Aの行とBの列の内積（G5！）を並べる：

\[AB \text{ の } (i, j) \text{ 成分} = A\text{の第}i\text{行と } B\text{の第}j\text{列の内積}\]

例1 ：

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{\cdot}5 + 2{\cdot}7 & 1{\cdot}6 + 2{\cdot}8 \\ 3{\cdot}5 + 4{\cdot}7 & 3{\cdot}6 + 4{\cdot}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\]

なぜこんな定義？ 行列は「ベクトルを変換する機械」だからだ。連立方程式 3x ＋ y、4x ＋ 2y も、機械A ＝ [[3, 1], [4, 2]] にベクトル (x, y) を入れた出力と読める。ABは「Bで変換してからAで変換」する合成機械——合成がうまく働くように逆算すると、この「行×列」の定義に行き着く。

順序が結果を変える！

数のかけ算では 2 × 3 ＝ 3 × 2（交換法則——N3以来の常識）。行列では——

例2 ：A ＝ [[1, 1], [0, 1]]、B ＝ [[1, 0], [1, 1]] で試すと、AB ＝ [[2, 1], [1, 1]]、BA ＝ [[1, 1], [1, 2]]。AB ≠ BA！

「変換の順序」と思えば当然だ：90°回してから鏡にうつすのと、鏡にうつしてから回すのでは結果がちがう。交換法則は、あって当たり前の法則ではなかった——行列は、演算の法則そのものを考え直させてくれる（この視点が代数学の入り口だ）。

単位行列 — 行列の「1」

\[E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

対角線に1、他は0。どんな行列に掛けても相手を変えない：AE ＝ EA ＝ A。数の1の完全な行列版だ（「何もしない変換」）。

逆行列 — 行列の「逆数」

数の 2 に対する 1/2 のように、A に掛けると E になる行列 A⁻¹ を逆行列という。2×2 では——

\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]

対角を入れかえ、残りの符号を変え、ad − bc でわる。ただし——ad − bc ＝ 0 なら逆行列は存在しない（0でわれないから）。数の0に逆数がないことの一般化だ。この重要な数 ad − bc には名前がある——行列式（このたんげんの最終ステップで主役になる）。

例3 ：A ＝ [[2, 1], [5, 3]]。ad − bc ＝ 6 − 5 ＝ 1。A⁻¹ ＝ [[3, −1], [−5, 2]]。

検算：AA⁻¹ ＝ [[6 − 5, −2 ＋ 2], [15 − 15, −5 ＋ 6]] ＝ [[1, 0], [0, 1]] ＝ E ✓

よくあるまちがい

その1：積を成分ごとに計算する。 [[1,2],[3,4]] × [[5,6],[7,8]] ＝ [[5,12],[21,32]] は誤り。積は行×列の内積——和とは規則がちがう。

その2：ABとBAを無意識に入れかえる。 式変形の途中で順序を変えてはいけない。移項や約分の感覚が通用しない場面——行列の式変形では「どちら側から掛けるか」を毎回明示する。

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