大数の法則と中心極限定理

平均は、なぜ落ち着くのか

さいころをn回振った平均 X̄ を考える。期待値の線形性から E[X̄] ＝ 3.5——中心はいつも期待値。ばらつきはどうか。独立な試行では分散もたせる（V[X ＋ Y] ＝ V[X] ＋ V[Y]、独立のとき）から——

\[V[\bar{X}] = \frac{V[X]}{n}\]

平均のばらつきは、回数nに反比例して縮む。チェビシェフの不等式

\[P(|\bar X-\mu|\geq\varepsilon)\leq \frac{V[X]}{n\varepsilon^2}\]

を使うと、平均が期待値からε以上ずれる確率が0へ近づくとわかる。これが大数の法則だ：

この不等式の理由も短い。ずれがε以上なら (X̄−μ)² はε²以上だから、ずれの2乗の平均 V[X̄] は少なくとも「ε² × その確率」。したがって確率は V[X̄]/ε² 以下になる。

独立に同じ試行をくり返すとき、その平均は期待値に収束する。

「期待値は長期平均」（前たんげん）の約束が、不等式によって裏づけられた。保険会社やカジノが多数の取引について収支を設計できるのは、回数が増えるほど平均の偶然のぶれが小さくなるからだ。個々の会社が必ず利益を得る、という意味ではない。

例1 ：コイン1万回投げの表の割合の標準偏差は √(0.25/10000) ＝ 0.005——表の割合は 0.5 ± 0.01 にほぼ確実に収まる。10回では ±0.3 も珍しくない。nの平方根の分だけ偶然が薄まる。

中心極限定理 — 釣鐘はどこから来るか

大数の法則は「どこに集まるか」を教えた。分布の形まで教えるのが中心極限定理（CLT）だ：

有限な平均と0でない有限な分散をもつ、独立で同じ分布の確率変数の和を標準化すると、nが大きいとき正規分布に近づく。

この条件のもとでは、もとの分布がさいころでも、コインでも、ゆがんだ分布でもよい。中心を引いて標準偏差で割った和が、釣鐘型に近づく。平均や分散が存在しない分布などは、この形の定理の対象外だ。

例2 ：さいころ1個の目の分布は平ら（一様）。2個の和は三角形（7が頂点——P2で数えた！）。3個、4個とたすほど滑らかな釣鐘に近づいていく。手で確かめられるCLTだ。

例3 ：コインn ＝ 100回の表の回数は、期待値 np ＝ 50、標準偏差 √(np(1−p)) ＝ 5 の正規分布で近似できる。平均から標準偏差1個分にあたる目安は 45回から55回付近。離散値なので、端を含める正確な確率には連続補正が必要だ。40回から60回付近は標準偏差2個分の目安になる。

例4 ：世論調査が「約1000人」で行われるのは、誤差 ≒ 1/√n ＝ 約3% がちょうど実用になる規模だから。√n の法則は、調査設計の経済学でもある。

よくあるまちがい

その1：大数の法則を「出目の帳尻合わせ」と誤読。 表が続いたあと裏が出やすくなる——ならない（独立！）。割合が落ち着くのは、過去が補正されるからではなく、未来の膨大な回数に薄められるからだ（ギャンブラーの誤謬）。

その2：nが小さいのにCLTを使う。 近似が効くのは「十分大きいn」（目安は分布の形にもよるが数十以上）。n ＝ 5 の和に正規分布を当てるのは早すぎる。

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