大数の法則と中心極限定理

平均は、なぜ落ち着くのか

さいころをn回振った平均 X̄ を考える。期待値の線形性から E[X̄] ＝ 3.5——中心はいつも期待値。ばらつきはどうか。独立な試行では分散もたせる（V[X ＋ Y] ＝ V[X] ＋ V[Y]、独立のとき）から——

\[V[\bar{X}] = \frac{V[X]}{n}\]

平均のばらつきは、回数nに反比例して縮む。n → ∞ でばらつきは0——平均は期待値そのものに絞り込まれていく。これが大数の法則だ：

独立に同じ試行をくり返すとき、その平均は期待値に収束する。

「期待値は長期平均」（前たんげん）の約束が、分散の計算ひとつで証明の骨格を得た。保険会社が保険料を設計できるのも、カジノが必ず儲かるのも、この法則が「多数なら偶然が消える」ことを保証するからだ。

例1 ：コイン1万回投げの表の割合の標準偏差は √(0.25/10000) ＝ 0.005——表の割合は 0.5 ± 0.01 にほぼ確実に収まる。10回では ±0.3 も珍しくない。nの平方根の分だけ偶然が薄まる。

中心極限定理 — 釣鐘はどこから来るか

大数の法則は「どこに集まるか」を教えた。分布の形まで教えるのが中心極限定理（CLT）だ：

独立な同じ分布の和（平均）は、nが大きいとき、正規分布に近づく。

もとの分布は何でもいい——さいころでも、コインでも、ゆがんだ分布でも。たし合わせるだけで釣鐘型に吸い寄せられる。身長（多数の遺伝・環境要因の和）、測定誤差（無数の小さな誤差の和）が正規分布になる理由——「正規分布の遍在」の謎の答えがこれだ。

例2 ：さいころ1個の目の分布は平ら（一様）。2個の和は三角形（7が頂点——P2で数えた！）。3個、4個とたすほど滑らかな釣鐘に近づいていく。手で確かめられるCLTだ。

例3 ：コインn ＝ 100回の表の回数は、期待値 np ＝ 50、標準偏差 √(np(1−p)) ＝ 5 の正規分布でほぼ近似できる。68-95ルール（前たんげん）から、表の回数は 45〜55回に約68%、40〜60回に約95%。二項分布の計算（P2の nCr の山）が、正規分布の面積読みに置き換わる——これが実用上のCLTの顔だ。

例4 ：世論調査が「約1000人」で行われるのは、誤差 ≒ 1/√n ＝ 約3% がちょうど実用になる規模だから。√n の法則は、調査設計の経済学でもある。

よくあるまちがい

その1：大数の法則を「出目の帳尻合わせ」と誤読。 表が続いたあと裏が出やすくなる——ならない（独立！）。割合が落ち着くのは、過去が補正されるからではなく、未来の膨大な回数に薄められるからだ（ギャンブラーの誤謬）。

その2：nが小さいのにCLTを使う。 近似が効くのは「十分大きいn」（目安は分布の形にもよるが数十以上）。n ＝ 5 の和に正規分布を当てるのは早すぎる。

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