条件付き確率

情報は確率を変える

52枚のトランプから1枚引く。それがハートである確率は 13/52 ＝ 1/4。

ここで「引いたカードは赤だった」と教えてもらえたら？ 赤は26枚で、そのうちハートは13枚。確率は 13/26 ＝ 1/2 に跳ね上がる。

情報が増えると、考えるべき「全体」が縮む。「Aが起きたとわかったうえで、Bが起こる確率」を条件付き確率といい、P_A(B) と書く。

\[P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}\]

分母が「全体」からAに取り替わる——それだけだ。（A∩BはS1で学んだ共通部分：AもBも起こること。）

例1 ：ある学級40人のうち、めがねの人が16人、めがねで左ききの人が4人。めがねの人の中から1人選ぶとき、左ききである確率は？

世界は「めがねの16人」に縮んでいる。P ＝ 4/16 ＝ 1/4。

乗法定理 — 「順に起こる」をかけ算で

定義の式を変形すると——

\[P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\]

「AそしてB」の確率は、「Aの確率」×「Aが起きたうえでのBの確率」。前のたんげんで、くじを順に引いたときのかけ算 3/10 × 2/9 は、じつはこの乗法定理を使っていたんだ。

例2 ：10本中3本当たりのくじを順に2本引く（もどさない）。2本とも当たりの確率は？

\[P = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15}\]

1本目を引いたあと、世界は「残り9本・当たり2本」に更新されている——2/9 は条件付き確率そのものだ。

例3 ：1本目が外れ、2本目が当たりの確率は？

\[P = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{7}{30}\]

逆向きの質問 — 原因の確率

例4 ：ある工場で、製品の60%を機械Aが、40%を機械Bが作る。不良率はAが1%、Bが3%。製品から1つ選んだら不良品だった。それがA製である確率は？

不良品の内訳を数えよう（1000個作ったとして）：A製の不良 600 × 0.01 ＝ 6個、B製の不良 400 × 0.03 ＝ 12個。不良は計18個。

\[P = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\]

「結果（不良）から原因（どの機械か）をさかのぼる」——条件付き確率のこの使い方は、病気の検査や迷惑メール判定を支える考え方（ベイズの考え方）の入り口だ。生産量の多いAのほうが不良を出しそうなのに、答えは1/3——直観より計算が信頼できる場面だよ。

よくあるまちがい

その1：P_A(B) と P(A∩B) の混同。 「めがねの人が左ききの確率」（4/16）と「めがねで左ききの人を全体から選ぶ確率」（4/40）はちがう質問。分母がどこかを毎回確認しよう。

その2：もどす・もどさないの読み落とし。 くじを「もどして」引けば2回目も 3/10 のまま。もどさなければ 2/9。問題文の設定が確率を決める。

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