ステップ P2-2-2
独立な試行と反復試行
この ページで まなぶ こと
- 独立な試行の確率をかけ算で求められるようになる
- 反復試行の確率 nCr pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ をつかえるようになる
結果が互いに影響しない試行が独立：P(A∩B) ＝ P(A) × P(B)。同じ試行をn回くり返して、あることがらがちょうどr回起こる確率は nCr pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ。
影響しないなら、ただのかけ算
さいころを振ってから、コインを投げる。さいころの目はコインの表裏に何の影響もあたえない。このような試行どうしを独立という。独立なら、乗法定理の P_A(B) がただの P(B) になって——
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]例1 ：さいころで6が出て、かつコインが表になる確率は？
\[P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\]「もどさないくじ」は独立でない（1本目が2本目の世界を変える）。「もどすくじ」やコインのくり返しは独立。影響が伝わるかどうかが見分けの基準だ。
反復試行 — 「ちょうどr回」の確率
同じ試行を独立にn回くり返す。コインを3回投げて、表がちょうど1回出る確率を考えよう。
表1回・裏2回のひとつの並び（たとえば 表裏裏）の確率は、独立だから (1/2)(1/2)(1/2) ＝ 1/8。
でも並びは1通りではない：表裏裏、裏表裏、裏裏表——3回のうち表の位置の選び方は ₃C₁ ＝ 3通り。どの並びも同じ確率 1/8 で、互いに排反だから——
\[P = {}_3\mathrm{C}_1 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\]一般に、1回あたり確率 p のことがらが、n回中ちょうどr回起こる確率は——
\[P = {}_n\mathrm{C}_r\, p^r (1 - p)^{n-r}\]（並びの数）×（1本の並びの確率）。組合せ（P1）と独立のかけ算が合体した、この章のボス公式だ。二項定理の項とそっくりなのは偶然ではない——全部の r でたすと (p ＋ (1 − p))ⁿ ＝ 1 になる ✓
例2 ：さいころを3回投げて、1の目がちょうど2回出る確率は？
p ＝ 1/6、n ＝ 3、r ＝ 2。
\[P = {}_3\mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}\]例3 ：コインを4回投げて表がちょうど2回出る確率は？
₄C₂ × (1/2)⁴ ＝ 6/16 ＝ 3/8。「半々のコインだから表2回は確率1/2」ではない！ ちょうど半分になるのは案外むずかしいんだ。
よくあるまちがい
その1：₍ₙCᵣ₎のかけ忘れ。 「表2回裏2回だから (1/2)⁴」で止めると、1通りの並びの確率しか数えていない。並び方の数を必ずかける。
その2：独立でないのに独立の式を使う。 もどさないくじの2本を 3/10 × 3/10 とするミス。引くたびに世界が変わるなら、条件付き確率（前ステップ）の出番だ。
れんしゅう
さいころで6、かつコインで表が出る確率は 1/□。□は？
独立な試行AとBについて P(A∩B) ＝ ？
コインを3回投げて表がちょうど1回出る確率は □/8。□は？
コインを4回投げて表がちょうど2回出る確率は □/8。□は？
コインを5回投げて表がちょうど5回出る確率は 1/□。□は？
さいころを3回投げて1の目がちょうど2回出る確率は 5/□。□は？
さいころを2回投げて、2回とも6が出る確率は 1/□。□は？
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！