確率の定義

起こりやすさを数にする

さいころを1回投げる。出る目は 1〜6 の6通りで、正しく作られたさいころならどの目も同じ起こりやすさのはずだ——これを「同様に確からしい」という。この前提のもとで——

\[P(A) = \frac{ことがらAが起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数}\]

と定める。これが確率（Pは probability の頭文字）。

例1 ：さいころで偶数の目が出る確率は？

全体は6通り、偶数は 2・4・6 の3通り。P ＝ 3/6 ＝ 1/2。

例2 ：大小2つのさいころで目の和が7になる確率は？

全体は 6 × 6 ＝ 36通り（積の法則！）。和が7は (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の6通り。P ＝ 6/36 ＝ 1/6。

P1の数え上げがそのまま分子・分母になる——場合の数を先に学んだのは、このためだったんだ。

確率の目盛り — 0から1まで

定義から自動的にわかる性質を並べよう。

• 0 ≦ P(A) ≦ 1 ：分子は0以上・分母以下だから。確率が1.2や−0.3になったら計算ミス確定。
• 絶対起こる → P ＝ 1（例：さいころで6以下が出る）
• 絶対起こらない → P ＝ 0（例：さいころで7が出る）

余事象 — 「起こらない」側から数える

「Aが起こらない」ということがらをAの余事象という。全体の場合の数から考えて——

\[P(Aが起こらない) = 1 - P(A)\]

例3 ：大小2つのさいころで「少なくとも1つ6が出る」確率は？

まともに数えると (6,1)…(6,6)、(1,6)…(5,6) で数えもれしやすい。裏返す：「少なくとも1つ6」の余事象は「どちらも6でない」。5 × 5 ＝ 25通りだから——

\[P = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\]

検算：直接数えると 6 ＋ 6 − 1 ＝ 11通り（(6,6)の二重数えを引く——P1の教訓！）。11/36 ✓

「少なくとも」という言葉を見たら余事象——確率の第一の定石だ。

よくあるまちがい

その1：同様に確からしくない場合に定義を使う。 「宝くじは当たるか外れるかの2通りだから確率1/2」は誤り。当たりと外れは同じ起こりやすさではない。定義が使えるのは、同じ重みの場合たちに分けられたときだけ。

その2：確率を約分しないまま比較する。 6/36 と 4/24 はどちらも1/6で同じ確率。分数の比較はN4で学んだ約分・通分が頼りだ。

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