ステップ P2-1-2
順列・組合せをつかう確率
この ページで まなぶ こと
- 組合せをつかってくじ・カードの確率を計算できるようになる
- 排反なことがらの確率のたし算（加法定理）をつかえるようになる
分母も分子も組合せで数える：10本中当たり3本のくじを2本引いて2本とも当たる確率は ₃C₂/₁₀C₂。同時に起こらない（排反な）ことがらは確率をたせる。
くじ引きの確率 — 分母も分子も組合せ
例1 ：10本中3本が当たりのくじから、同時に2本引く。2本とも当たりの確率は？
手順1（分母）：10本から2本を引く引き方は ₁₀C₂ ＝ 45通り。くじに区別をつければ、どの2本の組も同様に確からしい。
手順2（分子）：当たり3本から2本を選ぶ ₃C₂ ＝ 3通り。
\[P = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}\]例2 ：同じくじで「当たり1本、外れ1本」の確率は？
当たり3本から1本 × 外れ7本から1本（積の法則）＝ 3 × 7 ＝ 21通り。P ＝ 21/45 ＝ 7/15。
例3 ：「2本とも外れ」は ₇C₂ ＝ 21通りで 21/45 ＝ 7/15。
3つの場合をぜんぶたすと 1/15 ＋ 7/15 ＋ 7/15 ＝ 15/15 ＝ 1 ✓ ——起こりうる場合をもれなく重複なく分ければ、確率の合計は必ず1。強力な検算法だ。
確率の加法定理 — 排反なら たせる
例3の検算でしれっと確率をたしたが、これには条件がある。ことがらAとBが同時に起こらない（排反）とき——
\[P(A または B) = P(A) + P(B)\]場合の数の「和の法則」を分母でわっただけ——数え上げの法則が、そのまま確率の法則に昇格する。
例4 ：大小2つのさいころで、目の和が5または11になる確率は？
和が5は4通り、和が11は2通り、排反。P ＝ 4/36 ＋ 2/36 ＝ 6/36 ＝ 1/6。
排反でないとき（たとえば「3の倍数または4の倍数」）は、重なりの分を引く：P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) − P(A∩B)。S1章のベン図の景色、確率版だ。
「同時に引く」も「順に引く」も同じ
例1を「1本ずつ順に引く」と考えても答えは変わらない。1本目が当たり：3/10。2本目も当たり：残り9本中当たり2本で 2/9。かけて——
\[\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} ✓\]組合せで数えても、順に引いてかけても、同じ答えに着く。この「順に引く」の考え方は、次のたんげん「条件付き確率」への入り口になっている。
よくあるまちがい
その1：区別しないで数えてしまう。 「当たり2・当たり外れ・外れ2の3通りだから各1/3」は誤り。この3つは同様に確からしくない。確率の分母は、区別のついた「同じ重みの場合」で数える。
その2：排反でないのにたす。 「和が4以下 または 偶数」のような重なりのある場合をそのままたすと1を超えたりする。たす前に「同時に起こりうるか？」を確認。
れんしゅう
10本中3本当たりのくじを同時に2本引いて、2本とも当たる確率は 1/□。□は？
同じくじで当たり1本・外れ1本の確率は 7/□。□は？
P(AまたはB) ＝ P(A) ＋ P(B) が成り立つのは？
大小2つのさいころで目の和が5または11になる確率は？「1/6」のように書いてね。
赤3個・白2個の玉から同時に2個取り出して、2個とも赤の確率は？「3/10」のように書いてね。
赤3個・白2個から2個取り出して、赤1個・白1個の確率は？「3/5」のように書いてね。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！