ステップ N10-1-1

多項式のかけ算

このページでまなぶこと

分配のきまりで（多項式）×（多項式）を展開できるようになる

(a＋b)(c＋d) ＝ ac＋ad＋bc＋bd。前のかっこの各項を、後ろのかっこの各項にもれなくかける。面積の図でも確かめられる。

展開とは

かっこのついた式のかけ算を、かっこのない形（単項式の和）に書き広げることを展開（てんかい）というよ。

まずは (多項式) × (単項式) から。これは分配のきまりそのもの。

\[2x(3x + 4) = 6x^2 + 8x\]

(多項式) × (多項式)

\[(a + b)(c + d)\]

は、(a ＋ b) をひとかたまり M と見ると M(c ＋ d) ＝ Mc ＋ Md。M を戻してもう一度分配すれば——

\[(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\]

つまり前のかっこの各項を、後ろのかっこの各項に、もれなくかけて全部たす。2 × 2 ＝ 4個の項ができる。

例1 ：

\[(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\]

同類項（3x と 2x）をまとめて仕上げるのを忘れずに。

例2 ：符号に注意して。

\[(x + 4)(x - 2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8\]

例3 ：項が3つでも同じ要領だ。

\[(x + 1)(x^2 + 2x + 3) = x^3 + 2x^2 + 3x + x^2 + 2x + 3 = x^3 + 3x^2 + 5x + 3\]

面積で見る展開

たてが (a ＋ b)、よこが (c ＋ d) の長方形の面積を考えよう。全体の面積は (a＋b)(c＋d)。一方、内部を4つの小さな長方形に区切ると ac、ad、bc、bd。同じ面積を2通りに数えているから、両者は等しい——展開の式は、じつは面積の等式でもあるんだ（分配のきまりのアレイ図の、文字版だね）。

れんしゅう

Q1 きほん

3x(x ＋ 5) を展開すると 3x² ＋ □x。□は？

Q2 きほん

(x ＋ 1)(x ＋ 4) を展開すると x² ＋ □x ＋ 4。□は？

Q3 ふつう

(x ＋ 3)(x − 5) を展開すると x² − 2x − □。□は？

Q4 ふつう

(2x ＋ 1)(x ＋ 3) を展開すると 2x² ＋ □x ＋ 3。□は？

Q5 チャレンジ

(x ＋ 2)(x² − 2x ＋ 4) を展開すると x³ ＋ □。□は？

もっとれんしゅう

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。