ステップ N10-1-2

乗法公式

この ページで まなぶ こと

  • 4つの乗法公式を使って速く正確に展開できるようになる

(x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab、(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²、(a−b)²＝a²−2ab＋b²、(a＋b)(a−b)＝a²−b²。何度も出る形は公式化して一撃で。

よく出る形を「公式」にする

展開は分配のきまりでいつでもできる。でも、何度も出会う形は結果を覚えてしまったほうが速い。それが乗法公式だ。

公式1 ：

\[(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\]

xの係数は「たした数」、定数項は「かけた数」。例：(x ＋ 2)(x ＋ 3) ＝ x² ＋ 5x ＋ 6（2＋3＝5、2×3＝6）。

公式2・3（平方の公式） ：

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

まん中の 2ab を忘れないこと。(a ＋ b)² ＝ a² ＋ b² としてしまうのは、代数でいちばん有名なまちがいだ。a ＝ 3、b ＝ 4 で確かめてみよう：(3＋4)² ＝ 49、でも 3² ＋ 4² ＝ 25。ぜんぜんちがう！

例：(x ＋ 5)² ＝ x² ＋ 10x ＋ 25。　(x − 3)² ＝ x² − 6x ＋ 9。

公式4（和と差の積） ：

\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]

まん中の項が ＋ab − ab で消えて、2乗の差だけが残る美しい公式。例：(x ＋ 4)(x − 4) ＝ x² − 16。

公式は計算の道具にもなる

数の計算にも使えるよ。

例1 ：103 × 97 ＝ (100 ＋ 3)(100 − 3) ＝ 100² − 3² ＝ 10000 − 9 ＝ 9991

例2 ：102² ＝ (100 ＋ 2)² ＝ 10000 ＋ 400 ＋ 4 ＝ 10404

N2章の「くふうして計算」の正体は、乗法公式だったんだ。

れんしゅう

Q1 きほん

(x ＋ 4)(x ＋ 2) ＝ x² ＋ 6x ＋ □。□は？

Q2 きほん

(x ＋ 6)² ＝ x² ＋ □x ＋ 36。□は？

Q3 ふつう

(x − 7)² ＝ x² − 14x ＋ □。□は？

Q4 ふつう

(x ＋ 9)(x − 9) ＝ x² − □。□は？

Q5 ふつう

公式を使って暗算しよう。101 × 99 ＝ ？

Q6 チャレンジ

98² ＝ ？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。