ステップ N11-2-1
虚数単位 i と 複素数
この ページで まなぶ こと
- 虚数単位 i（i² ＝ −1）と複素数 a ＋ bi の形がわかる
i² ＝ −1 となる新しい数 i を導入する。a ＋ bi（a、bは実数）の形の数が複素数で、実数は b ＝ 0 の特別な場合。
新しい数を「定義する」
2乗して −1 になる数を、i と名づける。
\[i^2 = -1\]これが虚数単位（きょすうたんい）だ。「そんな数、あるの？」——実数の中には、ない。でも数学は、矛盾なく計算のルールを決められるなら、新しい数を導入してよい世界だ。負の数も、0も、無理数も、最初はみんな「そんな数あるの？」と言われた新入りだった。iはその最新メンバーにすぎない。
複素数 — 実数と i の合体
実数 a、b を使って
\[a + bi\]の形に書ける数を複素数（ふくそすう）という。a を実部、b を虚部というよ。
- 3 ＋ 2i ……実部 3、虚部 2
- 5 ＝ 5 ＋ 0i ……実数も複素数の一員（虚部が0なだけ）
- 4i ＝ 0 ＋ 4i ……実部が0の複素数（純虚数）
2つの複素数が等しいのは、実部どうし・虚部どうしがともに等しいとき。「a ＋ bi ＝ 0 ならば a ＝ b ＝ 0」——この分解が複素数の計算の基本ルールだ。
負の数の平方根
i があれば、負の数の平方根も書ける。
\[(2i)^2 = 4i^2 = -4\]したがって x² ＝ −4 の解は x ＝ ±2i。「実数解なし」で終わっていた方程式に、ちゃんと解が生まれた。
ここで、実数の範囲で学んだ √a√b ＝ √(ab) を負の数へそのまま広げてはいけない。たとえば √(−1)√(−1) ＝ i² ＝ −1 だが、√{(−1)(−1)} ＝ √1 ＝ 1。負の数の平方根は、方程式を2乗して確かめるのが安全だ。
れんしゅう
Q1
きほん
i² ＝ ？（マイナスなら −1 のように書いてね）
かいせつi² ＝ −1 は虚数単位 i の定義そのもの。「2乗して −1 になる数」として i を導入したのだった。
Q2
きほん
複素数 7 − 3i の実部は？
かいせつ7 − 3i ＝ 7 ＋（−3）i を a ＋ bi の形と見比べると、a ＝ 7、b ＝ −3。実部は a の 7 だ。
Q3
きほん
複素数 7 − 3i の虚部は？（符号ごと、−3 のように）
かいせつ7 − 3i ＝ 7 ＋（−3）i だから虚部は −3。虚部は i の係数（実数）で、i はふくめないことに注意。
Q4
ふつう
√(−9) ＝ □i。□は？
かいせつ(3i)² ＝ 3²i² ＝ 9×(−1) ＝ −9 だから、√(−9) ＝ 3i。したがって □ ＝ 3。複素数では平方根の積の公式をむやみに使わず、2乗して確かめよう。
Q5
ふつう
「実数は複素数である」は正しいかな？
かいせつたとえば 5 ＝ 5 ＋ 0i と書けるから、実数は虚部が0の複素数。どんな実数もこう書けるので、「実数によって異なる」こともない。
Q6
チャレンジ
i⁴ ＝ ？
かいせつi⁴ ＝ i² × i² ＝（−1）×（−1）＝ 1。i → i² ＝ −1 → i³ ＝ −i → i⁴ ＝ 1 と、iの累乗は4つごとに一巡する。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！