ステップ N11-2-1

虚数単位 i と 複素数

この ページで まなぶ こと

  • 虚数単位 i（i² ＝ −1）と複素数 a ＋ bi の形がわかる

i² ＝ −1 となる新しい数 i を導入する。a ＋ bi（a、bは実数）の形の数が複素数で、実数は b ＝ 0 の特別な場合。

新しい数を「定義する」

2乗して −1 になる数を、i と名づける。

\[i^2 = -1\]

これが虚数単位（きょすうたんい）だ。「そんな数、あるの？」——実数の中には、ない。でも数学は、矛盾なく計算のルールを決められるなら、新しい数を導入してよい世界だ。負の数も、0も、無理数も、最初はみんな「そんな数あるの？」と言われた新入りだった。iはその最新メンバーにすぎない。

複素数 — 実数と i の合体

実数 a、b を使って

\[a + bi\]

の形に書ける数を複素数（ふくそすう）という。a を実部、b を虚部というよ。

  • 3 ＋ 2i ……実部 3、虚部 2
  • 5 ＝ 5 ＋ 0i ……実数も複素数の一員（虚部が0なだけ）
  • 4i ＝ 0 ＋ 4i ……実部が0の複素数（純虚数）

2つの複素数が等しいのは、実部どうし・虚部どうしがともに等しいとき。「a ＋ bi ＝ 0 ならば a ＝ b ＝ 0」——この分解が複素数の計算の基本ルールだ。

負の数の平方根

i があれば、負の数の平方根も書ける。

\[\sqrt{-4} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2i\]

x² ＝ −4 の解は x ＝ ±2i。「実数解なし」で終わっていた方程式に、ちゃんと解が生まれた。

れんしゅう

Q1 きほん

i² ＝ ？（マイナスなら −1 のように書いてね）

Q2 きほん

複素数 7 − 3i の実部は？

Q3 きほん

複素数 7 − 3i の虚部は？（符号ごと、−3 のように）

Q4 ふつう

√(−9) ＝ □i。□は？

Q5 ふつう

「実数は複素数である」は正しいかな？

Q6 チャレンジ

i⁴ ＝ ？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。