複素数の 計算

ルールはひとつだけ

複素数の計算は、i をふつうの文字のようにあつかい、i² が現れたら −1 に置きかえる——これだけだ。

例1（たし算・ひき算） ：実部どうし、虚部どうしをまとめる。同類項の計算と同じ。

\[(3 + 2i) + (1 - 5i) = 4 - 3i\]

例2（かけ算） ：分配のきまりで展開してから i² ＝ −1。

\[(2 + 3i)(1 + 2i) = 2 + 4i + 3i + 6i^2 = 2 + 7i - 6 = -4 + 7i\]

文字式の展開（N10章）がそのまま通用する。乗法公式も使えるよ。

共役複素数 — 名コンビ

a ＋ bi に対して、虚部の符号だけ変えた a − bi を共役（きょうやく）複素数という。この2つをかけると——

\[(a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2\]

和と差の積の公式から、必ず実数になる！　この性質がわり算の鍵だ。

例3（わり算） ：分母の共役を、分母と分子にかける。

\[\frac{1 + 2i}{3 + i} = \frac{(1 + 2i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{3 - i + 6i - 2i^2}{9 + 1} = \frac{5 + 5i}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\]

分母から i が消えた。√の有理化（N10章）とまったく同じ発想——「分母と分子に同じものをかけて、じゃまものを消す」だ。

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