ステップ N11-4-1

恒等式

このページでまなぶこと

どんな値でも成り立つ等式が恒等式。両辺の同じ次数の係数はすべて一致する（係数比較法）。

\[2x + 3x = 5x \qquad と \qquad 2x + 3 = 5x\]

左は x に何を入れても成り立つ——恒等式（こうとうしき）。右は x ＝ 1 のときだけ成り立つ——方程式。S1章の「x ＋ 1 ＝ 1 ＋ x はどんな等式？」の答えが、ここで正式デビューだ。

展開・因数分解の等式や乗法公式は、ぜんぶ恒等式。「＝」という同じ記号を使っていても、主張の強さがまったく違うことを意識しよう。

恒等式には強力な性質がある。

両辺を整理したとき、同じ次数の項の係数はすべて等しい。

（もし係数が違えば、その差が0でない多項式になり、たかだか有限個のxでしか0にならず「どんなxでも成り立つ」に矛盾——背理法だ。）

例1 ：x² ＋ 5x ＋ 6 ＝ (x ＋ 2)(x ＋ a) がxについての恒等式となる a は？

右辺を展開して x² ＋ (2 ＋ a)x ＋ 2a。係数を比較すると 2 ＋ a ＝ 5 かつ 2a ＝ 6——どちらからも a ＝ 3。2本の式が同じ答えを出すのは、恒等式が本物である証拠だ。

例2（数値代入法） ：a(x − 1) ＋ b(x ＋ 1) ＝ 3x ＋ 1 が恒等式となる a、b は？

どんなxでも成り立つのだから、都合のよい値を代入してよい。x ＝ 1 で 2b ＝ 4、x ＝ −1 で −2a ＝ −2。よって a ＝ 1、b ＝ 2。（求めたあと、もとの式に戻して恒等式になることを確認するのが作法だよ。）

Q1 きほん

恒等式はどれかな？

Q2 きほん

x² ＋ ax ＋ 8 ＝ (x ＋ 2)(x ＋ 4) が恒等式となる a は？

Q3 ふつう

3x ＋ 6 ＝ a(x ＋ 2) が恒等式となる a は？

Q4 ふつう

x² ＋ bx ＋ c ＝ (x − 3)² が恒等式となる b は？（−6 のように書いてね）

Q5 チャレンジ

a(x ＋ 1) ＋ b(x − 1) ＝ 5x ＋ 1 が恒等式となる a は？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。