ステップ N11-4-2

不等式の証明と相加相乗平均

このページでまなぶこと

A ≧ B を示すには A − B ≧ 0 を示す。差を平方（2乗）の形にできれば勝ち——実数の2乗は0以上だから。a, b ＞ 0 なら (a＋b)/2 ≧ √(ab)。

「すべての実数 x で成り立つ」不等式は、方程式のようには解けない。定石はこれだ。

A ≧ B を示したければ、A − B ≧ 0 を示す。

そして差が0以上であることの最強の根拠が——実数の2乗は必ず0以上（負×負も正だから。N8章の符号のルールがこんな大定理を支える）。

例1 ：すべての実数 x について x² ＋ 1 ＞ 0 を証明せよ。

x² ≧ 0 に 1 をたせば x² ＋ 1 ≧ 1 ＞ 0。∎

例2 ：すべての実数 a、b について a² ＋ b² ≧ 2ab を証明せよ。

差をとると——

\[a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0 \quad ∎\]

差がまるごと平方の形に化けた（乗法公式を逆に読んだ！）。等号が成り立つのは (a − b)² ＝ 0、つまり a ＝ b のときだけ。不等式の証明では、この等号成立条件まで添えるのが作法だよ。

a ＞ 0、b ＞ 0 のとき、(a ＋ b)/2 を相加平均（ふつうの平均）、√(ab) を相乗平均という。両者にはいつも大小関係がある。

\[\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \quad （等号は a = b のとき）\]

証明は例2の変奏だ。差の2倍を計算すると a ＋ b − 2√(ab) ＝ (√a − √b)² ≧ 0。また平方の形！

例3 ：a ＝ 4、b ＝ 9 で確認：相加平均 6.5、相乗平均 √36 ＝ 6。たしかに 6.5 ≧ 6 ✓

この不等式は「和が一定なら積は等しいとき最大」を教えてくれる。周の長さが決まった長方形で面積が最大なのは正方形——G2章の面積の世界に、証明つきの答えが出せるようになった。

Q1 きほん

A ≧ B を証明する定石は？

Q2 きほん

「実数の2乗は0以上」を使うのはなぜ？

Q3 ふつう

a² ＋ b² ≧ 2ab の等号が成り立つのは a ＝ □ のとき。□は？（文字1つ）

Q4 ふつう

a ＝ 2、b ＝ 8 の相乗平均 √(ab) は？

Q5 ふつう

a ＝ 2、b ＝ 8 の相加平均は？

Q6 チャレンジ

周の長さが20の長方形で、面積が最大になるのはたてが何のとき？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。