たんげんテスト N11-4-3
たんげんテスト：式と証明
この ページで まなぶ こと
- 恒等式と不等式の証明をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらN11章は完了！ 章テストへ進もう。
「式と証明」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
恒等式はどれかな？
かいせつ(x ＋ 2)(x − 2) ＝ x² − 4 は和と差の積の公式で、x に何を入れても成り立つ恒等式。2x ＝ 6 は x ＝ 3、x² ＝ x は x ＝ 0 か 1 のときしか成り立たない方程式だ。
Q2
きほん
x² ＋ ax ＋ 15 ＝ (x ＋ 3)(x ＋ 5) が恒等式となる a は？
かいせつ右辺を展開すると x² ＋ 8x ＋ 15。xの係数を比較して a ＝ 8。定数項も 3 × 5 ＝ 15 で一致している。
Q3
ふつう
a(x − 2) ＋ b ＝ 4x − 5 が恒等式となる a は？
かいせつ左辺を整理すると ax ＋（−2a ＋ b）。xの係数を比較して a ＝ 4。
Q4
ふつう
同じ式で b は？
かいせつ定数項の比較で −2a ＋ b ＝ −5。a ＝ 4 を代入すると −8 ＋ b ＝ −5 だから b ＝ 3。検算：4(x − 2) ＋ 3 ＝ 4x − 5 ✓
Q5
ふつう
a ＝ 3、b ＝ 12 の相乗平均は？
かいせつ相乗平均は √(ab) ＝ √(3 × 12) ＝ √36 ＝ 6。相加平均は (3 ＋ 12)/2 ＝ 7.5 で、たしかに相加平均のほうが大きい。
Q6
ふつう
a² ＋ b² ≧ 2ab の証明のカギは？
かいせつ差をとると a² ＋ b² − 2ab ＝（a − b）²。実数の2乗は必ず0以上だから差が0以上といえる——これが証明のカギだ。
Q7
チャレンジ
和が16の2つの正の数の積が最大になるのは、2数がともに□のとき。□は？
かいせつ相加相乗平均の不等式より、和が一定なら積が最大になるのは2数が等しいとき。16 ÷ 2 ＝ 8 で、ともに8のとき積は 64 で最大になる。
Q8
チャレンジ
相加相乗平均の不等式が使える条件は？
かいせつ相乗平均 √(ab) が意味を持つように、a ＞ 0、b ＞ 0 が使える条件。「a、bが等しい」は条件ではなく、等号が成り立つ場合のことだ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！