ステップ N11-3-1

剰余の定理と因数定理

このページでまなぶこと

わり算を実行しなくても、aを代入するだけで余りがわかる。余りが0なら x−a で割り切れる——これが因数定理で、高次式の因数分解の突破口になる。

多項式 P(x) を x − a という1次式でわると、余りは定数になる。このとき——

剰余の定理：P(x) を x − a でわった余りは P(a)。

証明は短い。わり算の関係式 P(x) ＝ (x − a) Q(x) ＋ r（Qは商、rは余り）に x ＝ a を代入すると、(a − a)Q(a) ＝ 0 で商の項がまるごと消えて、P(a) ＝ r。∎

例1 ：P(x) ＝ x³ − 2x ＋ 5 を x − 2 でわった余りは、P(2) ＝ 8 − 4 ＋ 5 ＝ 9。筆算いらずだ。

余りが0なら、P(x) は x − a で割り切れる。つまり——

因数定理：P(a) ＝ 0 ⟺ P(x) は x − a を因数に持つ。

「aが方程式 P(x) ＝ 0 の解である」ことと「x − a が因数である」ことが、ぴったり同値（必要十分条件！）。解と因数は同じものの両面なんだ——じつは二次方程式の「因数分解で解く」で使っていた事実の、正体がこれだよ。

例2 ：P(x) ＝ x³ − 7x ＋ 6 で P(1) ＝ 1 − 7 ＋ 6 ＝ 0。よって x − 1 は P(x) の因数だ。実際、わり算すると P(x) ＝ (x − 1)(x² ＋ x − 6) ＝ (x − 1)(x − 2)(x ＋ 3)。

解の候補 a は、定数項の約数（±1、±2、±3、±6）から試すのが定石。約数（N4章）がこんなところでも働く。

Q1 きほん

P(x) ＝ x³ ＋ 2x − 1 を x − 1 でわった余りは？（P(1)を計算）

Q2 きほん

P(x) ＝ x³ − 3x² ＋ 5 を x − 2 でわった余りは？

Q3 ふつう

P(3) ＝ 0 のとき、P(x) の因数といえるのは？

Q4 ふつう

P(x) ＝ x³ − 6x² ＋ 11x − 6 について P(1) ＝？（因数定理の入口）

Q5 チャレンジ

P(x) ＝ x³ ＋ kx ＋ 2 が x − 1 で割り切れるときの k は？（−3 のように書いてね）

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。