ステップ N11-3-2

高次方程式を 解く

この ページで まなぶ こと

  • 因数定理を使って3次方程式を解けるようになる

定数項の約数から解の候補を試し、因数定理で1次式をくくり出して次数を下げる。残った2次は解の公式で。n次方程式の解は複素数の範囲でちょうどn個。

作戦 — 次数を下げる

3次方程式 x³ − 6x² ＋ 11x − 6 ＝ 0 を解こう。作戦はこうだ。

  1. 解の候補（定数項 −6 の約数：±1、±2、±3、±6）を代入して、P(a) ＝ 0 になる a を探す
  2. 見つかったら因数定理で x − a をくくり出し、次数を下げる
  3. 残った2次方程式は、因数分解か解の公式で仕上げる

P(1) ＝ 1 − 6 ＋ 11 − 6 ＝ 0。当たり！　x − 1 でわると——

\[x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\]

解は x ＝ 1, 2, 3。検算：どれを代入しても0になる ✓

虚数解も現れる

例2 ：x³ ＝ 8、つまり x³ − 8 ＝ 0 を解こう。P(2) ＝ 0 だから——

\[x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\]

2次の部分は D ＝ 4 − 16 ＝ −12 ＜ 0 で、解は x ＝ −1 ± √3 i。あわせて解は

\[x = 2, \quad -1 + \sqrt{3}i, \quad -1 - \sqrt{3}i\]

「2乗して8になる数」ならぬ「3乗して8になる数」が、複素数の世界には3つある！

代数学の基本定理（予告）

じつは、n次方程式は複素数の範囲でちょうどn個の解を持つ（重解は重複して数える）。この美しい事実は代数学の基本定理と呼ばれ、複素数を作った時点で方程式の世界は「完成」していたことを教えてくれる。証明は大学数学の名場面のひとつだ。

れんしゅう

Q1 きほん

x³ − x ＝ 0 の解は 0、1、あともうひとつは？（−1 のように書いてね）

Q2 きほん

(x − 1)(x − 2)(x ＋ 4) ＝ 0 の解のうち、負のものは？

Q3 ふつう

x³ − 7x ＋ 6 ＝ 0 の解は 1、2、あともうひとつは？（−3 のように書いてね）

Q4 ふつう

3次方程式は複素数の範囲で解をいくつ持つ？（重解は重複して数える）

個

Q5 チャレンジ

x³ ＝ 1 の実数解は1つだけ。それは？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。