たんげんテスト N11-3-3
たんげんテスト：高次方程式
この ページで まなぶ こと
- 剰余の定理・因数定理で高次方程式を解けるかたしかめる
全部正解できたら、次のたんげん「式と証明」でN11章はフィナーレ！
「高次方程式」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
P(x) ＝ x³ − 4x ＋ 1 を x − 2 でわった余りは？
かいせつ剰余の定理より、x − 2 でわった余りは P(2) ＝ 8 − 8 ＋ 1 ＝ 1。
Q2
きほん
P(−1) ＝ 0 のとき、P(x)の因数は？
かいせつ因数定理「P(a) ＝ 0 ⟺ x − a が因数」で a ＝ −1 だから、因数は x −（−1）＝ x ＋ 1。x − 1 が因数になるのは P(1) ＝ 0 のとき——符号の向きに注意。
Q3
きほん
x³ − 4x ＝ 0 の解は 0、2、あともうひとつは？（−2 のように書いてね）
かいせつx でくくると x(x² − 4) ＝ x(x − 2)(x ＋ 2) ＝ 0。解は 0、2、−2 で、残るひとつは −2。
Q4
ふつう
P(x) ＝ x³ − 2x² − 5x ＋ 6 について P(1) ＝ ？
かいせつP(1) ＝ 1 − 2 − 5 ＋ 6 ＝ 0。因数定理より x − 1 が因数だとわかる——次の問題への布石だ。
Q5
ふつう
x³ − 2x² − 5x ＋ 6 ＝ (x − 1)(x ＋ 2)(x − □)。□は？
かいせつ定数項をくらべると（−1）×（＋2）×（−□）＝ 2□ が 6 に等しいから □ ＝ 3。検算：P(3) ＝ 27 − 18 − 15 ＋ 6 ＝ 0 で、たしかに x − 3 は因数だ。
Q6
ふつう
4次方程式は複素数の範囲で解をいくつ持つ？（重複をふくめて）
個
かいせつ代数学の基本定理より、n次方程式は複素数の範囲でちょうどn個の解を持つ。4次ならちょうど4個だ。
Q7
チャレンジ
P(x) ＝ 2x³ ＋ kx² − 3 が x ＋ 1 で割り切れるときの k は？
かいせつx ＋ 1 で割り切れる ⟺ P(−1) ＝ 0。P(−1) ＝ 2 ×（−1）＋ k × 1 − 3 ＝ k − 5 ＝ 0 だから k ＝ 5。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！