ステップ N11-1-1

有理数と 循環小数

この ページで まなぶ こと

  • 有理数を小数にすると有限小数か循環小数になる理由がわかる
  • 循環小数を分数に直せるようになる

分数のわり算では余りのパターンが有限だから、小数は必ず終わるか循環する。逆に循環小数は「ずらしてひく」技で分数に戻せる。

分数を小数にすると

分数（有理数）を小数に直すと、2つのパターンしかない。

  • 有限小数……1/4 ＝ 0.25（終わる）
  • 循環小数……1/3 ＝ 0.333…、3/11 ＝ 0.272727…（同じ並びがくり返す）

なぜ必ずこうなるのか。1 ÷ 7 のわり算を筆算で続けてみると、各ステップの余りは 1〜6 のどれかしかない（7でわった余りだから）。有限種類しかない余りは、わり算を続ければいつか必ず同じ余りが再登場する——そこから先は前とまったく同じ計算のくり返し、つまり循環だ。N4章の「あまり」の性質が、小数の運命を決めていたんだ。

循環小数を分数に戻す

逆向きの変換には、あざやかな技がある。x ＝ 0.272727… としよう。

くり返しの長さは2けたなので、100倍すると 100x ＝ 27.272727…。ここで引き算——

\[100x - x = 27.2727\cdots - 0.2727\cdots = 27\]

小数部分がそっくり打ち消しあった！　99x ＝ 27 だから x ＝ 27/99 ＝ 3/11。

例 ：0.666… は 10x − x ＝ 6 より x ＝ 6/9 ＝ 2/3。

つまり、循環する小数はすべて分数（有理数）。ということは——循環しない無限小数（√2 や π）は分数ではありえない。N10章で出会った無理数の「循環しない」という特徴づけが、これで完全につながった。

れんしゅう

Q1 きほん

7/20 を小数にすると？

Q2 きほん

0.111…（1のくり返し）を分数で表そう。「1/3」のように書いてね。

Q3 ふつう

0.454545…（45のくり返し）を分数で表して約分しよう。

Q4 ふつう

分数を小数にすると必ず有限小数か循環小数になる理由は？

Q5 チャレンジ

0.999…（9のくり返し）を分数の技で計算すると、10x − x ＝ 9 より x ＝ ？（整数1つで書いてね）

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。