ステップ N11-1-2

実数と数直線

このページでまなぶこと

有理数と無理数をあわせた全体が実数。実数は数直線を「すきまなく」埋めつくし、数直線の点と1対1に対応する。

これまで出会った数を整理しよう。

有理数と無理数——このふたつをあわせた全体を実数（じっすう）というよ。「循環するかしないか」で世界がきれいに2分される（前ステップの結果！）。

実数のいちばん大事な性質はこれだ。

実数と数直線の点は、1対1に対応する。

どんな実数にも数直線上の住所があり、逆に数直線のどの点も、なにかの実数の住所になっている。有理数だけでは√2の場所に穴があいていた（N10章）。無理数がその穴をすべて埋めて、連続した1本の線が完成したんだ。

この「すきまがない」という性質（連続性）は、いまは直観的な事実として受け取っておこう。じつはこれを厳密に言い切るのはかなり深い問題で、大学の解析学（A6章「実数の連続性」）の出発点になる。楽しみに取っておいてほしい。

実数どうしは、たし算・ひき算・かけ算・わり算（0以外）が自由にでき、大小が比べられ、√2 × √2 ＝ 2 のように無理数がかけ合わさって有理数に戻ることもある。ただし有理数＋無理数はかならず無理数（背理法で示せる——S2章の練習問題でやったあの論法だ）。

Q1 きほん

無理数はどれかな？

Q2 きほん

「すべての整数は有理数である」は真かな？偽かな？

Q3 ふつう

実数と数直線の関係として正しいのは？

Q4 ふつう

√2 × √8 は？

Q5 チャレンジ

「3 ＋ √2 は無理数である」の証明に使う論法は？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。