ステップ N11-1-2
実数と 数直線
この ページで まなぶ こと
- 実数の分類（有理数・無理数）を整理できる
- 実数と数直線の点が1対1に対応することがわかる
有理数と無理数をあわせた全体が実数。実数は数直線を「すきまなく」埋めつくし、数直線の点と1対1に対応する。
数の家系図
これまで出会った数を整理しよう。
| 分類 | 例 |
|---|---|
| 自然数 | 1, 2, 3, … |
| 整数 | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| 有理数（分数で書ける） | −3, 0.25, 2/7, 0.333… |
| 無理数（分数で書けない） | √2, −√5, π |
有理数と無理数——このふたつをあわせた全体を実数（じっすう）というよ。「循環するかしないか」で世界がきれいに2分される（前ステップの結果！）。
すきまのない直線
実数のいちばん大事な性質はこれだ。
実数と数直線の点は、1対1に対応する。
どんな実数にも数直線上の住所があり、逆に数直線のどの点も、なにかの実数の住所になっている。有理数だけでは√2の場所に穴があいていた（N10章）。無理数がその穴をすべて埋めて、連続した1本の線が完成したんだ。
この「すきまがない」という性質（連続性）は、いまは直観的な事実として受け取っておこう。じつはこれを厳密に言い切るのはかなり深い問題で、大学の解析学（A6章「実数の連続性」）の出発点になる。楽しみに取っておいてほしい。
実数の計算は自由自在
実数どうしは、たし算・ひき算・かけ算・わり算（0以外）が自由にでき、大小が比べられ、√2 × √2 ＝ 2 のように無理数がかけ合わさって有理数に戻ることもある。ただし有理数＋無理数はかならず無理数（背理法で示せる——S2章の練習問題でやったあの論法だ）。
れんしゅう
Q1
きほん
無理数はどれかな？
かいせつ√7 は循環しない無限小数で、分数では書けない無理数。0.777… は循環小数だから分数（7/9）に直せる有理数、−7 も −7/1 と書ける有理数だ。
Q2
きほん
「すべての整数は有理数である」は真かな？偽かな？
かいせつどんな整数も、−3 ＝ −3/1 のように分母1の分数で書ける。「分数で書ける」が有理数の定義だから、整数はすべて有理数——真だ。
Q3
ふつう
実数と数直線の関係として正しいのは？
かいせつどんな実数にも数直線上の住所があり、数直線のどの点もなにかの実数の住所——これが1対1対応。有理数だけでは√2の場所などに穴があき、その穴を埋めるのが無理数だから、残り2つの選択肢はどちらも誤りだ。
Q4
ふつう
√2 × √8 は？
かいせつ√2 × √8 ＝ √16 ＝ 4。無理数どうしのかけ算でも、有理数に戻ることがあるんだ。
Q5
チャレンジ
「3 ＋ √2 は無理数である」の証明に使う論法は？
かいせつ3 ＋ √2 が有理数 r だと仮定すると、√2 ＝ r − 3 は有理数どうしの引き算だから有理数になってしまい、√2 が無理数であることに矛盾。だから 3 ＋ √2 は無理数——これが背理法だ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！