代表値と散らばり

中心はどこか — 平均と中央値

データ 3、5、5、6、8、9、13（7人のテスト、10点満点…ではなく点数とだけしておこう）。

平均 ＝ 合計 ÷ 個数 ＝ 49/7 ＝ 7。

中央値 ＝ 小さい順に並べた真ん中の値 ＝ 4番目の 6。（データが偶数個なら真ん中2つの平均。）

似た値になった。では、データに大金持ちが混ざったら？

例1 ：5人の年収（万円）300、350、400、450、10000。平均は 2300万円——でも5人中4人は平均の 1/5 以下だ。中央値は 400万円——実感に近い。

外れ値（極端な値）は平均を強く引っぱるが、中央値はびくともしない（順番しか見ないから）。「平均年収」と「年収の中央値」が大きくずれる国の統計は、分布のゆがみを語っている——どの代表値を選ぶかも情報なのだ。

散らばり — 分散と標準偏差

中心だけでは足りない。「平均7点」でも、全員7点のクラスと、0点と14点に割れたクラスはまるで違う。

\[分散 s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2 \qquad 標準偏差 s = \sqrt{s^2}\]

平均からのずれの2乗の平均——確率変数の分散（P3）と同じ設計だ。単位を戻した標準偏差が実用の主役。

例2 ：データ 4、6、8（平均6）。ずれは −2、0、2。分散 ＝ (4 ＋ 0 ＋ 4)/3 ＝ 8/3、標準偏差 ≒ 1.6。

例3 ：データ 2、6、10（平均6）。分散 ＝ (16 ＋ 0 ＋ 16)/3 ＝ 32/3——例2の4倍。値の幅が2倍なら分散は4倍（2乗の物差し——P3の V[aX] ＝ a²V[X] と同じ現象）✓

例4（偏差値） ：テストの得点を「平均50、標準偏差10」に変換したものが偏差値：50 ＋ 10 × (得点 − 平均)/標準偏差。平均60・標準偏差10の試験で80点なら偏差値 70。得点が正規分布に近ければ（中心極限定理の出番——P3）、偏差値70以上は上位約2.3%（μ ＋ 2σ の外側）——スケールのちがう試験どうしを比べる共通の物差しだ。

よくあるまちがい

その1：外れ値ごと平均して代表値にする。 例1の「平均2300万円」は誰の実感も代表していない。分布がゆがんでいそうなら中央値を併記——プロの統計の作法だ。

その2：分散の計算でずれをたす（2乗しない）。 ずれの単純和は必ず0（平均の定義から）。2乗してから平均する——符号を消して大きさだけ拾うためだ。

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