散布図と相関係数

2つの量は、手をつないでいるか

身長と体重、気温とアイスの売上——2つの量のペアのデータは、横軸と縦軸に打った散布図で見る。点の雲が右上がりなら「一方が大きいと他方も大きい」——正の相関。右下がりなら負の相関。雲が丸くばらけていたら相関なし。

強さを1つの数にしたのが相関係数 r：

\[r = \frac{（xのずれ × yのずれ）の平均}{xの標準偏差 × yの標準偏差} \qquad −1 \le r \le 1\]

分子（共分散）は「xが平均より上のとき、yも上か？」を符号で拾う。x、yがそろって動けば正が積もり、逆に動けば負が積もる。標準偏差でわって単位を消せば、−1から1の普遍的な物差しになる（実はこれ、ベクトルのなす角の cos——内積を長さでわった式（G5・L2）と同じ形だ。r ＝ ±1 は「完全に平行」＝一直線）。

例1 ：r ＝ 0.9——強い正の相関（点はほぼ右上がりの直線ぞい）。r ＝ −0.2——弱い負の相関。r ＝ 0——直線的な関係はない。

例2 ：気温とアイス売上は r ＞ 0、気温とおでん売上は r ＜ 0。数字ひとつで「結びつきの向きと強さ」が語れる。

相関は因果ではない — 統計リテラシーの核心

例3 ：「アイスの売上」と「水難事故の件数」には強い正の相関がある。ではアイスを禁止すれば事故が減る？——もちろん違う。両方を動かしている第3の変数、気温（交絡因子）がいるだけだ。

\[相関がある \nRightarrow 因果がある\]

考えられる構図は少なくとも3つ：AがBの原因／BがAの原因／共通の原因Cが両方を動かす。散布図と r は「結びつき」しか教えない——向きも仕組みも教えない。因果を言うには、実験（無作為化）やより深い分析が要る。「〜と相関があった」というニュースをどう読むか——数学ハイウェイで学ぶ最後の、そして日常でいちばん使う武器かもしれない。

例4 ：r ＝ 0 でも安心できない。放物線状の関係（U字）では、強く結びついていても直線的でないため r ≒ 0 になる。相関係数は直線的な結びつき専用の物差し——散布図を見ずに r だけ読むのは危険だ。

よくあるまちがい

その1：相関から因果へ飛ぶ。 例3のアイスと水難事故。交絡因子を疑うのが第一歩——「両方を動かす第3の量はないか？」

その2：r ＝ 0 を「無関係」と読む。 U字の関係は r ≒ 0。正しくは「直線的な関係がない」。散布図とセットで判断する。

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