仮説検定の論理

疑いから始める — 背理法の確率版

コインを20回投げたら表が16回。「いかさまだ！」と言いたい。でも公正なコインでも偶然16回出ることはありうる。どう判定する？

統計の型はこうだ。まず、言いたいことの否定を仮定する：

帰無仮説 H₀ ：コインは公正（p ＝ 1/2） 対立仮説 H₁ ：コインは公正でない

そして問う——「H₀が正しいとして、観測された結果（かそれ以上に極端な結果）は、どれくらい起こりにくいか？」

この確率をp値という。p値が、あらかじめ決めた基準（有意水準、ふつう5%）より小さければ——「公正なコインでこれは起こりにくすぎる」——H₀を棄却し、有意差ありと結論する。

√2の無理数性の証明（S2）を思い出そう：「有理数と仮定→矛盾→仮定を棄てる」。検定は「H₀と仮定→確率的にほぼ矛盾（p ＜ 5%）→H₀を棄てる」——背理法の確率版だ。

コイン検定を実行する

例1 ：20回中16回表。H₀（公正）のもとで、表の回数は期待値 np ＝ 10、標準偏差 √(np(1−p)) ＝ √5 ≒ 2.24（P3）。観測の16回は——

\[z = \frac{16 - 10}{2.24} \approx 2.7\]

平均から2.7σも離れている。正規分布で±2σの外は約5%、±2.7σの外は約0.7%——p値 ≒ 0.7% ＜ 5%。棄却！ 「このコインが公正とは考えにくい」と、確率の裏付けつきで言える。

例2 ：20回中12回表なら？ z ＝ 2/2.24 ≒ 0.9——±1σ以内はざらに起こる（p値 ≒ 37%）。棄却できない。ここが大事：「H₀を棄却できない」は「H₀が正しいと証明された」ではない。「疑うには証拠不足」——無罪判決ではなく証拠不十分、が正しい読みだ。

2種類の誤りと、5%の意味

検定は確率の判定だから、まちがえることがある：

• 第1種の誤り ：本当は公正なのに「いかさま」と誤断（冤罪）——この確率が有意水準5%そのもの
• 第2種の誤り ：本当はいかさまなのに見逃す

有意水準を厳しく（1%に）すれば冤罪は減るが見逃しが増える——トレードオフだ。5%は慣習であって自然法則ではない。近年の科学界では「p ＜ 0.05 の機械的な使用」への反省も進んでいる——道具の限界ごと理解して使うのが、ハイウェイ卒業生の作法だよ。

よくあるまちがい

その1：p値を「H₀が正しい確率」と読む。 p値は「H₀が正しいとしたときの、データの起こりにくさ」。条件と結論が逆——条件付き確率（P2）の向きの取り違えだ。

その2：棄却できない＝H₀の証明、と読む。 例2のとおり、単なる証拠不足かもしれない。「有意差なし」は「差がない」ことの証明ではない。

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