たんげんテスト S4-2-2
たんげんテスト：位相空間
この ページで まなぶ こと
- 位相の公理・連続・コンパクト・連結をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらS4章は完了！ 論理と集合ルート、完走だ！
「位相空間」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
必ず開集合であるものは？
かいせつ公理1により、全体集合Xと空集合はどんな位相でも必ず開集合。1点集合や閉区間は、たとえば実数のふつうの位相では開集合でない。
Q2
きほん
開集合の共通部分が開と言えるのは？
かいせつ共通部分が開と言えるのは有限個まで——開区間 (−1/n, 1/n) を無限個交わらせると1点 {0} になって開が壊れる。和集合のほうは無限個でも開のままで、この非対称が公理の急所だ。
Q3
きほん
連続 ⇔ 開集合の——
かいせつ連続 ⇔ 開集合の逆像が開。像のほうは開になるとは限らず、連続な f(x) ＝ x² でも開区間 (−1, 1) の像は [0, 1) と開でない——向きを間違えないこと。
Q4
ふつう
最大値の定理を一般化する性質は？
かいせつ最大値の定理を一般化するのはコンパクト性——空でないコンパクト空間上の実数値連続関数は、最大値と最小値を持つ。連結性が支えるのは中間値の定理のほうだ。
Q5
ふつう
「コーヒーカップとドーナツは同じ」とみなす幾何は？
かいせつ連続変形で移り合う図形を同一視するのが位相幾何学（トポロジー）。穴の個数のような距離によらない性質だけが残るので、どちらも穴が1個のコーヒーカップとドーナツは同じとみなされる。長さや座標を保つユークリッド幾何・座標幾何では区別される。
Q6
チャレンジ
位相空間と距離空間の関係は？
かいせつ距離空間の開集合は位相の公理をみたすので、距離空間はつねに位相空間になる。逆は成り立たず、距離から作れない位相もあるため、位相空間のほうが広い。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！