第2次導関数と凹凸

微分をもう一回 — 曲がり方が見える

導関数 f′(x) も関数だ。ならば、それをさらに微分できる——第2次導関数 f″(x)。何がわかるのか？

f″ は「傾きの変化率」。f″(x) ＞ 0 なら、進むにつれ傾きが増えていく——カーブは下に凸（谷型に開く）。f″(x) ＜ 0 なら傾きは減っていく——上に凸（山型）。

例1 ：f(x) ＝ x² は f″ ＝ 2 ＞ 0——どこでも下に凸。放物線の姿そのもの ✓

例2 ：f(x) ＝ x³ は f″ ＝ 6x。x ＜ 0 で上に凸、x ＞ 0 で下に凸——原点でS字にねじれている。凹凸が切りかわるこの点を変曲点という。

物理の言葉なら、f′ が速度、f″ は加速度。位置・速度・加速度——微分を重ねるたび、運動の別の層が見える。

増減×凹凸 — グラフの完全設計図

例3 ：f(x) ＝ x e⁻ˣ のグラフを描こう（x ≧ 0）。指数×多項式——A4までは手も足も出なかった関数だ。

手順1（増減）：積と連鎖律で f′ ＝ e⁻ˣ − x e⁻ˣ ＝ (1 − x)e⁻ˣ。e⁻ˣ ＞ 0 だから符号は 1 − x で決まる：x ＝ 1 で極大、値は f(1) ＝ 1/e ≒ 0.37。

手順2（凹凸）：f″ ＝ −e⁻ˣ − (1 − x)e⁻ˣ ＝ (x − 2)e⁻ˣ。x ＝ 2 で凹凸が切りかわる——変曲点。

手順3（遠くのようす）：x → ∞ で x e⁻ˣ → 0（指数の減衰は多項式の成長より強い）。

まとめると：0から立ち上がり、x ＝ 1 で山頂（1/e）、その先は下りながら x ＝ 2 でカーブの向きを変え、0にすうっと張りつく。一度も点を打たずに、初見の関数の姿が描けた。

例4 ：y ＝ sin x（0 ≦ x ≦ 2π）の変曲点は？ y″ ＝ −sin x ＝ 0 → x ＝ 0、π、2π。波が「ふくらみの向き」を変えるのは、ちょうどx軸を横切る瞬間だ。

極値判定のショートカット

f′(a) ＝ 0 の点で、増減表を書かなくても——

• f″(a) ＞ 0 → 極小（下に凸の底）
• f″(a) ＜ 0 → 極大（上に凸の頂上）

例5 ：f(x) ＝ x³ − 3x。f′ ＝ 3x² − 3 ＝ 0 → x ＝ ±1。f″ ＝ 6x。f″(1) ＝ 6 ＞ 0 で極小、f″(−1) ＝ −6 ＜ 0 で極大——A4で増減表から出した結論と一致 ✓（f″(a) ＝ 0 のときは判定不能。増減表に戻ろう。）

よくあるまちがい

その1：「下に凸」と「減少」の混同。 凹凸と増減は独立だ。下に凸でも減少中はありうる（放物線の左半分）。f′ が増減、f″ が凹凸——担当がちがう。

その2：f″(a) ＝ 0 を変曲点と即断。 f(x) ＝ x⁴ は f″(0) ＝ 0 だが、前後とも下に凸——変曲点ではない。符号が変わるかの確認は、極値のときと同じ作法だ。

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